Ejercicios álgebra moderna
1. De las siguientes
afirmaciones diga si son falsas o verdaderas pero cada afirmación con su justificación respectiva
a) Toda permutación es una función uno a uno.
b) toda función es una permutación si y solo si es uno a uno.
c) toda función de un conjunto finito sobre si mismo
debe ser uno a uno.
d) Hasta ahora no se ha dado en el libro un ejemplo de un grupo
que no sea abeliano.
e) todo subgrupo de un grupo abeliano es abeliano.
EL LIBRO DEL CUAL SE GUÍA EL PROFE ES JOHN B. FRALEIGH.
Y SE ENCUENTRA EN EL SIGUIENTE LINK
http://ebookbrowse.com/fraleigh-j-algebra-abstracta-3aed-pdf-d92418672
pagina 46
1 Respuesta
1)
a) Verdadero. Así lo dice en la definición de permutación en la página 40, donde dice que una permutación es una función 1 a 1 y sobre de A en A.
b) Falso. Una función puede ser de un conjunto sobre otro conjunto. Para ser permutación tiene que ser una función de sí mismo en sí mismo. En caso de darse esto, sí que sería cierta la afirmación.
c) Falso. No toda función tiene porque ser uno a uno, eso no forma parte de la definición de función. La función f(x) = k con k constante no es uno a uno y no deja de ser una función. La función f(x) = x^2 de R en R tampoco es uno a uno porque f(-2)=f(2)
d) No lo puedo asegurar, no voy a repasar línea por línea todo el libro. Además ya sabes que ojear u hojear en el ordenador no es tan agradable como hacerlo en un libro. Si como veo se hablaba en el capítulo anterior de los grupos cíclicos, no se haberían dado todavía ejemplos de grupos no abelianos. Pero esto mejor lo puedes saber tú si habéis seguido las lecciones del libro.
e) Verdadero. Los elementos del subgrupo siguen conservando la propiedad conmutativa entre sí. Si la cumplían para todos elementos del grupo con igual razón la cumplirán para un subconjunto de este.
Y eso es todo.
