Álgebra abstracta de fraleigh
http://ebookbrowse.com/fraleigh-j-algebra-abstracta-3aed-pdf-d92418672
Este es el link del libro la pagina del libro es 64.
1 respuesta
a) Si.
Si llamamos c^0, c^1, c^2, ... c^(n-1) a los elementos del grupo cíclico
ci·cj = c^((i+j) mod n) = cj·ci
b) No. Los números reales con la suma es un grupo abeliano no cíclico.
c) No lo es
d) No, un grupo cíclico pude tener subgrupos y un elemento generar solo un subgrupo.
Ejemplo: el grupo de permutaciones generado por (1,2,3,4) tiene cuatro elementos
Tomamos el (1,2,3,4)(1,2,3,4) =(1,3)(2,4)
y el grupo <(1,3)(2,4)> = { (1,2)(3,4), e} solo tiene dos elementos.
e) Si, el grupo Zn
f) Si
g) No, el 9 es generador y no es primo.
h) No.
i) Si. A3={(1,2,3), (1,3,2), e} las permutaciones pares de 3 elementos, es cíclico.
j) No. Zn se genera con un solo elemento.
Y eso es todo.
gracias por su ayuda, pero en la c, f, h porque se pone eso.... por favor una justificación,,, le agradezco muchooooooo
c) Un grupo cíclico es el generado por un solo elemento. No puedes generar todo Q con un solo elemento. Dado un elemento cualquiera p/q € Q con p y q primos entre si el elemento p/(2q) no pertenece al grupo generado.
El grupo cíclico generado por p/q es
<p/q> = {np/q | n€Z]}
y si
n(p/q) = p/(2q) ==> 2np/q = p/q ==> 2n = 1 absurdo
f) Yo había leído algo sobre eso, aunque no me acuerdo si en este libro u otro.
Si n= 1 G={e} es cíclico
Si n=2 G={a,e} y a tiene que tener inverso a' tal que
aa' = e ==>a'=a ==> aa=e ==> a^2 = e
Luego G = {a, a^2} y es cíclico
Si n=3 el libro explica en la página 25 y 26 como debe ser la tabla de operaciones y deduce que todos los grupos de orden tres son isomorfos, luego serán isomorfos al gripo cíclico de orden tres que sabemos que existe.
h) Lo pone también en el libro. En la página 43 dice que S3 es el grupo de menor orden posible para no ser abeliano. De hecho no es abeliano como puede verse aquí.
(1,2)(1,2,3) = (1,3)
(1,2,3)(1,2) = (2,3,1)
Y todo grupo cíclico es abeliano, sino lo pone en el libro está puesto en un ejercicio.
Si cíclico ==> abeliano entonces no abeliano ==> no cíclico
Como S3 no es ebeliano ==> S3 no es cíclico.
Y eso es todo.
