Problema de MCM

Desconozco si habrá algún método directo, si lo hay imagino que lo tendrás en el libro. Lo que voy a hacer tiene alguna dificultad y es largo

Primero descomponemos 504 en factores primos

$$\begin{align}&504 | 2\\ &252 | 2\\ &126 | 2\\ & 63 | 3\\ & 21 | 3\\ &  7 | 7\\ &  1\end{align}$$

504 = 2^3 · 3^2 · 7

Tanto a como b se tendrán que expresar como producto de esos factores primos con a lo máximo esos exponentes. Además a, b o ambos tendrán que tener el máximo exponente para cada factor primo. De no ser así el mcm sería menor.

Por otra parte nos dicen que el resto de a/b es 20

Hay una propiedad del máximo común divisor que dice

mcd(a, b) = mcd(b, resto de a/b)

Luego mcd(a, b) = mcd(20, b)

Dado que

b = 2^n · 3^m · 7^j

20 = 2^2 · 5

mcd(b,20) = 1, 2 o 4

Luego mcd(a,b)=1, 2 o 4

Por otra parte, si el resto es 20 se cumple b > 20

Y también se cumple a>b porque si no el resto sería a y a no puede ser 20

Examinemos los casos.

i) Si mcd(a,b) = 1

Entonces a o b toman un factor primo con su exponente máximo y el otro no toma ese factor primo

Para ser b>0 debe ser

b = 2^3·3^2= 72

a= 7

b = 2^3·7 = 56

a = 3^2 = 9

b=3^2·7= 63

a=2^3 = 8

Pero en todos estos casos b>a y el resto es a que nunca es 20.

ii) Si mcd(a,b) = 2

No añadimos nada ya que b tendrá que tomar el factor 2^3 y otro o el factor 2 y otros dos con exponente máximo. Y lo hagamos como lo hagamos el valor de a va a ser menor que b

iii) Si mcd(a,b) = 4

Uno de los dos tiene el factor 2^2 y el otro 2^3.

Aquí ya se añade algo nuevo porque b con 2^2 y otro factor ya puede ser mayor de 20. Vemos los casos:

b=2^2·7 = 28

a=2^3·3^2 = 72

72 / 28 = 2 y resto 16

b=2^2·3^2 = 36

a=2^3·7 = 56

¡Eureka!

Esa es la respuesta

a= 56 y b = 36

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Dime que estudias por favor, para saber a que curso o carrera pertenece un problema de este tipo. Yo lo veo complicado para ser de colegio. Y si no es complicado, laborioso cuanto menos.