Ayuda Ecuación Dif. De Bernoulli

La definición que tengo yo en mi libro de ecuación de Bernoulli es esta

dy/dx +P(x)y = Q(x)y^n

Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas de x (o constantes) y n distinto de 0 y 1 (porque en caso contrario sería una aplicación lineal).

Veamos se esta ecuación es de Bernoulli.

dy/dx + y = xy^4

Si, lo es claramente.

Y dice que se solucionan así:

Dívidimos todo por y^n, quedando:

y^(-n)dy/dx + P(x)y^(1-n) = Q(x)

luego se hace la sustitución

z=y^(1-n)

con lo que

dz/dx =(1-n)y^(-n)dy/dx

y^(-n)dydx = [1/(1-n)]dz/dx

Sustituimos este valor y el y^(1-n)

[1/(1-n)]dz/dx +P(x)z =Q(x)

Multiplicamos todo por (1-n)

dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)

Que es una ecuación diferencial lineal. Y explicar cómo se resuelve la lineal es una parrafada, mejor lo consultas en tu libro o apuntes.

Entonces teníamos

dy/dx + y = xy^4

dividimos por y^4

y^(-4)dy/dx + y^(-3) = x

hacemos la sustitución

z=y^(-3)

dz/dx =-3y^(-4)dy/dx ==> y^(-4)dy/dx = -(1/3)dz/dx

Y queda:

-(1/3)dz/dx + z = x

dz/dx - 3z = -3x

Para resolver esta EDO lineal supondremos que z es el producto de dos funciones de x

z=u(x)v(x)

dz/dx = vdu/dx + udv/dx

vdu/dx + udv/dx - 3uv = -3x

(1) vdu/dx + u(dv/dx - 3v) = -3x

Ahora afinamos la selección de las funciones u(x) y v(x), elegimos v(x) de tal manera que cumpla

dv/dx - 3v = 0 ==>

dv/dx = 3v

dv/v = 3dx

-ln(C) + ln(v) = 3x

ln(v/C) = 3x

v/C = e^(3x)

v =Ce^(3x)

Debíamos encontrar una v(x) tal que dv/dx - 3v = 0, Hemos dado con la solución general, simplemente elijamos una, por ejemplo

v=e^(3x)

Volvemos a la ecuación que marqué (1) con este valor de v

e^(3x)du/dx + u·0 = -3x

e^(3x)du/dx = -3x

du/dx = -3xe^(-3x)

u = $(-3xe^(-3x)) dx

Esta integral la resolvemos por partes, lo malo es que estamos usando las letras u y v que se usan como variables auxiliares. Usaremos las mayúsculas como auxiliares

U = x ==> dU = dx

dV =-3e^(-3x)dx ==> V = e^(-3x)

u = xe^(-3x) - $e^(-3x)dx = xe^(-3x)+(1/3)e^(3x) + C = (x+1/3)e^(-3x) + C

Ya hemos calculado u(x) y v(x), recordemos que z era el producto

z = e^(3x)·[(x+1/3)e^(-3x) + C]

y que z=y^(-3)

y^(-3) = e^(3x)·[(x+1/3)e^(-3x) + C]

y = {e^(3x)·[(x+1/3)e^(-3x) + C] }^(-1/3)

y =e^(-x) [(x+1/3)e^(-3x)+C]^(-1/3)

Esta vez vamos a dejarlo sin comprobar, incluso en papel normal sería un lío hacerlo.

Y eso es todo.