Números transfinitos aplicaciones

Los números transfinitos son muy interesantes. El simple hecho de proporcionar dos tipos de infinito distintos ya es algo que llama la atención, tiene muchas paradojas y a los matemáticos nos gusta averiguar que tipo de infinito tiene algún conjunto. Puedes estar seguros que tienen alguna aplicación, cuando es una teoría que se estudia es porque sirve para algo, aunque muchas veces nos enseñan cosas que solo sirven para matemáticas más avanzadas. Saber entre que conjuntos se puede establecer una aplicación biyectiva es muy importante. Vamos, que son imprescindibles en la teoría de conjuntos, y eso respercute en la Topología y el Análisis Matemático y con ello repercute en todo.

No soy muy experto en el tema. Yo sabía de la existencia de dos números transfinitos.

1) Aleph sub 0 que es el cardinal de los números enteros. Y es también el de los pares, o los múltiplos de cualquier número, el de los racionales, que aun pareciendo que son muchos más tienen el cardinal de los enteros porque se pueden numerar, etc.

2) El cardinal de los números reales. Se podía demostrar la imposibilidad de una aplicación biyectiva entre los enteros y los resales y por eso son distintos. Se llama c a este cardinal. Y hay una hipótesis (la hipótesis del continuo) que dice que es el cardinal inmediatamente superior a aleph sub 0 cuyo nombre sería aleph sub 1.

aleph0 < aleph1 <= c

No se puede demostrar esa igualdad aleph1 = c, se pueden crear sistemas donde se cumpla y sistemas donde no se cumpla y ambos son consistentes.

Hay un teorema que dice que el conjunto de las partes de un conjunto no es biyectivo consigo mismo.

Luego si tomamos un conjunto con cardinal aleph sub 1, el cardinal de las partes de ese conjunto es un cardinal distinto y mayor, y si hacemos el conjunto de las partes de las partes del conjunto se obtiene otro aun mayor. Y así se obtienen todos los números transfinitos que queramos.

En la teoría se llamarían

aleph2 = 2^(aleph1)

aleph3 = 2^(aleph2)

...

Y eso es todo lo que puedo decirte. Estuve leyendo este enlace y me gustó.

Números transfinitos

Aunque puede que sea algo duro, depende de los estudios que tengas.