Aplicaciones de espacios vectoriales
1. Considera el espacio de las sucesiones de números reales que convergen a 0.
So = {{an} c R I lim an cuando n-->infinito =0
a)Demuestra que So, con la suma de sucesiones y el producto de un real por una sucesión, es un espacio vectorial.
b) Define una norma en So y comprueba que, en efecto, cumple las propiedades de norma.
c) Define una metrica en So y comprueba que, en efecto, cumple las propiedaddes de distancia.
d) Proporciona y describe los siguientes ejemplos de conjuntos en So.
i) A = una bola abierta.
ii) B =una bola cerrada.
iii) C = conjunto de puntos de acumulacion de A.
1 Respuesta
No sé como os pedirán resolver este ejercicio. Lo que yo creo es que en algún sitio ya habéis visto que el conjunto de todas las sucesiones con ls suma y el producto por un real es un espacio vectorial. Y entonces lo que debéis demostrar es que aquellas que tienden a 0 son un subespacio.
Para que un conjunto S sea un subespacio vectorial de un espacio debe cumplirse:
1) Que el conjunto no sea vacío
2) u+v € S para todo u,v€S
3) Ku € S para todo k€R y todo u€S
En algunos libros las condiciones 2 y 3 las reúnen en una k1·u + k2·v € S
1) No es un conjunto vacío, conocemos infinitas sucesiones cuyo límite es 0, pero tomemos simplemente la sucesión nula
2) Sean {an} y {bn} dos sucesiones que tienden a 0 en el infinito
entonces la suma tiene límite 0
lim {an+bn} = lim{an}+lim{bn} = 0+0 = 0
Luego {an+bn} € So
3) Sea an con límite 0
lim{k·an} = k·lim{an} = k·0 = 0
Luego {kan} € So
Y por lo tanto So es un subespacio vectorial del espacio de todas las sucesiones y por lo tanto es un espacio vectorial.
b) La norma puede ser
||{an}|| = sup{|an|}
1) La norma es siempre positiva. Y solo vale 0 para la sucesión nula que es el vector nulo de este espacio.
2) Para toda sucesión del espacio se cumple
||k{an}|| = sup{|k·an|} = |k|·sup{|an|} = |k|·||{an}||
3) ||{an+bn}|| =sub{|an+bn|}<= sup{|an|+|bn|}<=sup{|an|}+sup{|bn|} =||{an}||+||{bn}||
c) La métrica puede ser
d({an},{bn}) = sup{|bn-an|}
1) Es siempre positiva o nula ya que es el supremo de valores positivos o nulos.
2) Solo vale 0 cuando bn-an=0 para todo n, entonces an=bn
3) Es simétrica ya que |an-bn| = |bn -an| para todo n con lo cual el supremo es el mismo.
4) d({an}, {bn}) = sup{|bn-an|} = sup{|bn -cn +cn -an|} <= sup{|bn-cn| + |cn-an|} <=
sup{|bn-cn|}+sup{|cn-an} = d({cn}, {bn}) + d({an}, {cn}) = d
d) Una bola abierta de centro {an} y radio r será el conjunto de las sucesiones bn de So tales que
sup{|an-bn|} < r
Gráficamente, son sucesiones comprendidas en una franja que se forma por arriba con la sucesión {an+r} y por debajo con {an-r}
La bola cerrada es lo mismo salvo que entran las que la distancia es r
sup{|an-bn|} <= r
Los puntos de acumulación de A son aquellos que cualquier abierto con centro en ellos tiene algún punto de A distinto de los puntos de acumulación. Todo punto interno de la bola A es de acumulación y los puntos a distancia r también lo son ya que cualquier abierto de ellos tiene puntos de A. Luego los puntos de acumulación son la bola B, aquellas sucesiones bn tales que
sup{|an-bn|} <= r
Y eso es todo.
