Numero de soluciones enteras no negativas en una serie
determine el numero de soluciones enteras no negativas de rx1 + x2 + x3 +.........xn = kr
1 respuesta
¿Podrías explicar mejor el problema?
¿Eso es un polinomio con exponentes o son subíndices?
$$\begin{align}&rx^1+x^2+x^3 + ....+ x^n = kr\\ &\\ &rx_1 + x_2 + x_3+...+ x_n = kr\end{align}$$Si fuese lo segundo no entiendo que significaría soluciones.
Y si es lo primero confírmamelo y dime a que curso y asignatura corresponde, me temo que pueda ser Teoría de Números, álgebra muy superior o Análisis Matemático también superior. Entonces no se si podría resolverlo.
son subíndices y el curso es de combinatoria
rx1+ x2 + x3 +··· + xn = kr
Pasamos rx1 al otro lado
x2 + x3 + ··· + xn = kr - rx1 = r(k-x1)
Para que x2, x3, ..., xn sean no negativas también debe serlo el miembro derecho, luego
r(k-x1) >= 0
k - x1 >= 0
k >= x1
Luego x1 podrá tomar los valores 0 <= x1 <= k
Para cada uno de ellos podemos plantear un ecuación, entonces el número de respuestas total será la suma del número de respuestas de cada ecuación.
Si x1 toma valores desde 0 hasta k, entonces k-x1 tomará valores entre k y 0, como no nos importa el orden en que pongamos las ecuaciones digamos que los toma entre 0 y k
Ai que tendremos estas k+1 ecuaciones donde la solución de x1 esta prefijada en cada una a 0, 1, 2, .., k-1
x2 + x3 + ... + xn = 0
x2 + x3 + ... + xn = r
x2 + x3 + ... + xn = 2r
.....
x2 + x3 + ... + xn = kr
Supongo que ya sabrás quien el número de soluciones enteras no negativas de una ecuación
x1+ x2 + ... +xn = K es CR(n,k) = C(n+k+1, k)
Entonces nuestras ecuaciones tienen este numero de respuestas
Sumatorio i=0 hasta k de CR(n-1, ik) =
Sumatorio i=0 hasta k de C(n-2-ik, ik)
No sé si esto admitirá simplificación, vamos a probar un poco:
C(n-2, 0) + C(n-2+k, k) + C(n-2+2k, 2k) + ...+ C(n-2+k^2, k^2)
Que yo sepa eso no se puede simplificar, asi que toma como solución el sumatorio o esta linea de arriba, como más te guste.
Y eso es todo.
