Permutaciones-álgebra moderna

5.6)

a) Falso. Hay permutaciones que son producto de dos o más ciclos. Intercambian unos elementos entre si y otros entre ellos sin que se mezclen.
p.e. (1,2,3)(4,5)

b) Verdadero, un ciclo es un tipo particular de permutación.

c) Verdadero. Puesto que dice que una permutación siempre se escribirá como un número par de transposiciones o como un número impar, nunca podrá escribirse de las dos formas. Entonces una permutación impar es la que siempre se puede obtener mediante un número impar de transposiciones, y una par lo que se obtiene siempre con un número par de transposiciones

d) Falso. Tomemos el grupo cíclico generado por p=(1,2,3,4)
p=(1,2)(1,3)(1,4) luego es impar
Y el grupo es G={p, p^2, p^3, p^4}
p=(1,2,3,4)
p^2=(1,2,3,4)(1,2,3,4) = (1,3)(2,4)
p^3=(1,3)(2,4)(1,2,3,4) = (1,4,3,2)
p^4=(1,4,3,2)(1,2,3,4) = e
Y este subgrupo no tiene una transposición.

e) Falso. A5 tiene 60 elementos. Es S5 el que tiene 120 elementos.

f) Falso, para n = 2 es cíciclo
S2 = {(1,2), e} es cíclico

g) Verdadero. A3 es el grupo cíclico {(1,2,3), (1,3,2), e}

h) Verdadero, es obvio. Tomamos la aplicación f de S7 en S8 que a una permutación
De S7 le corresponde la que se escribe igual en S8. Es biyectiva y conserva la operación
(a·b)f = (af)(bf)
Supongo que así se escribirá es esta notación inversa que tan poco me gusta.

i) Verdadero, lo mismo que la anterior. Esta vez la aplicación f toma el elemento de S8 de esta forma:
Los caracteres 1,2,3,4,6,7 de la permutación en S8 los deja igual en la imagen mientras que donde ponía 5 lo cambia por 8.

j) Falso. Las permutaciones impares nunca pueden formar un subgrupo ya que no cuentan con el elemento neutro entre sus filas. El elemento neutro es una permutación par.

Y eso es todo.