Muestre que la función f(por) = 1 si por pertenece a es discontinua en todo numero real

De nuevo digo que el enunciado está mal y donde dice reales debería decir racionales.

Tomemos un punto cualquiera xo y tomemos epsilon = 0.5

Como siempre, debemos hallar el delta>0 tal que si 0 < |x-xo|<delta, entonces se cumpla

|f(x)-L|<epsilon=0.5

|f(x)-L| < 0.5

Pero al ser delta>0 el intervalo (xo-delta, xo+delta) tiene longitud 2·delta y hay infinitos números en el. Y entre dos número reales distintos siempre hay un un racional y un irracional (bueno, infinitos en realidad) luego tomemos el delta que tomemos >0 en es intervalo siempre habrá racionales e irracionales, por tanto habrá puntos donde la función valga 1 y otros donde valga 0

Si tomamos el límite L fuera de la franja [0,1] tendremos |f(x)-L| > 1 para los puntos donde f(x)=0 o para los que f(x)=1

Entonces el límite L debe estar a distancia menor de 0.5 tanto del 0 como del 1, pero eso es imposible, si estamos más cerca del 0 entonces la distancia al 1 es mayor de 0.5, si estamos mas cerca del 1 la distancia a 0 es mayor de 0.5

1)

|1-L| < 0.5

-0.5 < 1-L < 0.5

-1.5 <-L < -0.5

0.5 < L < 1.5

2)

|0-L| < 0.5

-0.5 < L < 0.5

Luego L debe ser mayor y menor que 0.5 a la vez, absurdo, luego L no existe.

L = 0.5 no sirve, ya que la desigualdad

|f(x)-L|<epsilon

Es estricta.

Y eso es todo.