Limite cuando por tiende a infinito de (raíz cuadrada de por^2+x/x)

Ya contesté esta pregunta. No sé si la has mandado otra vez por equivocación o por algún motivo concreto. Recuerdo que esta fue la respuesta.

Este límite tiene alguna complicación adicional que no sé si el que lo escribió se percató de ella. Por la izquierda no está definida la función.
Si x € (-1, 0] se cumple
x^2 <=-x
x^2+x <= 0
Si
es menor que cero no hay raíz cuadrada y si es cero con x=0 entonces no existe el cociente. luego la función no está definida en (-1,0]
La definición de límite (puede que ampliada sobre la que se da normalmente) dice que debe existir un delta tal que x € [(xo-delta, xo) U (xo, xo+delta)] intersección con Dom f entonces |f(x)-L|<epsilon
Luego en este límite solo se toman en cuenta a efecto de comprobar el límite los x € (0, delta) ya que (-delta, 0) no pertenece al dominio de la función, esto es equivalente a calcular el límite por la derecha.

$$\begin{align}&\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x^2+x}}{x}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 0_+}\frac{\sqrt{x^2+x}}{x}=\\ &\\ &\\ &\text{como x espositiva se puede meter dentro del}\\ &\text{ radicando manteniéndose el signo}\\ &\\ &=\lim_{x \to 0_+} \sqrt{\frac{x^2+x}{x^2}}=\\ &\\ &\\ &=\lim_{x \to 0_+} \sqrt{1+\frac{1}{x}}= \\ &\\ &\\ &\sqrt{1+\frac 1{0_+}}=\\ &\\ &\text{como x es positiva}\\ &\\ &\\ &\sqrt{1+\infty} = +\infty\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendído. Sino dime qué es lo que no entiendes.