¿Cómo calcular puntos máximos y mínimos?

También aquí has tenido algún problema con el editor. Los signos de desigualdad son:

\lt menor

\le menor o igual

\gt mayor

\ge mayor o igual

\neq distinto

Para calcular los mínimos y máximos relativos hacemos la derivada e igualamos a cero

f(x) =x^4 - 2x^3

f '(x) = 4x^3 - 6x^2 = 0

Tenemos la solución x=0 para empezar

Simplificando tenemos

4x - 6 = 0

4x = 6

x = 3/2

Luego los puntos críticos son 0 y 3/2

Calculamos la derivada segunda para ver que es cada uno

f ''(x) = 12x^2 - 12x

f ''(0) = 0

Cuando la derivada segunda es 0 y la tercera es distinta de 0 es un punto de silla. En caso de que la tercera siguiese siendo 0 sería un punto de silla si la primera no nula fuese impar

f '''(x) = 24x -12

f '''(0) = -12

Luego se cumple l que decía y x= 0 es un punto de silla

Y ahora vamos con x=3/2

f''(3/2) = 12(3/2)^2 - 12(3/2) = 98/4 - 36/2 = (98-72)/4 = 26/4 > 0

Como la derivada segunda es positiva el punto es un mínimo relativo.

Si una función es derivable, los máximos y mínimos absolutos están en los relativos o en los extremos del intervalo. Para calcular los absolutos vamos a compararlos

f(-3) = (-3)^4 - 2(-3)^3 = 81 + 54 = 135

f(3/2) = (3/2)^4 - 2(3/2)^3 = 81/16 - 54/8 = (81-108)/16 = -27/16

f(3) = 3^4 - 2·3^3 = 81-54 = 27

Luego el máximo absoluto en el intervalo [-3, 3] es x=-3 y el mínimo absoluto es x=3/2

Y eso es todo.

Si, otra vez tuve problemas con el editor de las formulas, siendo lo correcto:

$$-3 \leq X \leq 3$$