Dada la función calcular máximo y mínimo

Los puntos de la curva serán de la forma (x, x^2-3x) luego su distancia al punto (5,-5) será

sqrt[(x-5)^2 + (x^2-3x + 5)^2]

Para hallar el máximo o mínimo de una raíz cuadrada podemos quitarla ya que donde sea mayor el radicando será mayor la raíz y donde sea menor el radicando será menor la raíz. Luego calcularemos el mínimo de la distancia al cuadrado

f(x) = (x - 5)^2 + (x^2 - 3x + 5)^2

f '(x) = 2x - 10 +( 2x^2 - 6x +10)(2x - 3) =

2x - 10 + 4x^3 -12x^2 + 20x - 6x^2 + 18x -30 =

4x^3 - 18x^2+ 40x - 40 = 0

2x^3 - 9x^2 + 20x - 20 = 0

Vamos a suponer que han tenido buena fe y que la respuesta es un número entero. Entonces tendrá que dividir al coeficiente libre entre el primero -20/2 = -10. Luego los posibles son

{1, -1, 2, -2, 5, -5, 10, -10}

Para x=1

2-9+20-20 = -7

para x=-1

.2-9-20-20 = -51

para x=2

16 -36 +40 - 20 = 0 ¡BIEN!

Luego x= 2 es una raíz, vamos a ver si hay otras, para ello dividimos por la regla de Ruffini

    2   -9   20  -20
2        4  -10   20
    -----------------
    2   -5   10  | 0

veamos si 2x^2 - 5x +10 = 0 tiene soluciones. El discriminante

D = b^2 - 4ac = 25 - 80 = -55

es negativo, luego no hay raíces reales, 2 es la única raíz.

Y es obvio que tiene que ser el mínimo porque hay distancias mayores, nada más que tomemos un punto con x grande la distancia es mayor.

No obstante no seamos tan listos y usemos el criterio de la derivada segunda

f '(x) = 4x^3 - 18x^2+ 40x - 40

f ''(x) = 12x^2 - 36x + 40

f ''(2) = 48 - 72 +40 = 16

Como es mayor que cero el punto x=2 es un mínimo

Cuando x=2 entonces y = 2^2-3·2 = -2

Luego el punto más cercano es (2, -2)

Y la distancia es

sqrt[(5-2)^2+(-5+2)^2] = sqrt(9+9) = 3·sqrt(2)

Y eso es todo.