Demostración por el principio del buen orden
¿Me puedes ayudar con esta demostración por favor?
Pruebe que la ecuación x^3+1991^3=z^4 tiene soluciones infinitas.
Gracias!
1 Respuesta
¿Las soluciones deben ser enteras o pueden ser reales? Es que hay una rama bastante importante de la matemática que se dedica a las soluciones exclusivamente enteras de las ecuaciones, que en ese caso se llaman ecuaciones diofánticas. Entonces yo no sé de dónde ha salido el problema ni la teoría que has estudiado.
Si es posible pásame la teoría. Porque además no recuerdo yo haber hecho problemas del principio de buen orden y no sé por donde ir.
Andamos en las mismas. No he encontrado casi nada de información sobre el tema ni ejercicios resueltos que me permitan entenderlo mejor. Se supone que es sobre números naturales. Lo que tengo es esto:
El principio del buen orden es una proposición que resulta ser equivalente al principio de inducción. Se usa en proposiciones de tipo negativo.
Principio del buen orden: Todo subconjunto no vacío A de N , tiene un elemento que es más pequeño que cualquier otro elemento de A , es decir, es el elemento mínimo de A.
Supongamos que se quiere demostrar una proposición que depende de P, lo que se hace es suponer que para un cierto número n la negación se cumple y se demuestra que entonces se cumple para un número menor que n, si se aplica el procedimiento al nuevo número, se obtendría una sucesión infinita y decreciente de números naturales, lo que es una contradicción por satisfacer los naturales el PBO. Por lo tanto se concluye P que es cierta.
Ejemplo: queremos demostrar que la ecuación x^3+2y^3=4z^3 sólo tiene la solución trivial x=y=z=0. Sea P(x):x^3+2y^3=z^3. La negación de P es que existen x,y,z no todos 0 tales que son la solución de la ecuación. Sea S el conjunto de los x que son parte de la solución, si este conjunto fuera distinto del vacío entonces, por el PBO, tendría un elemento x1 que es parte de la solución de la ecuación y que además es debe ser par por lo tanto x1=2m. Sustituyendo el valor de x1 en la ecuación se obtiene 8m^3+2y^3=4z^3, dividiendo entre dos se tiene la ecuación 4m^3+y^3=2z^3
Aplicamos el mismo criterio para y y la sustituimos, obteniendo 2m^3+2n^3=z^3. De nuevo aplicamos el criterio para z y llegamos a m^3+n^3=4t^3 con m como solución y menor que x1, contradiciendo la minimalidad de x1.
Yo traté de hacer el ejercicio que te pregunté por el mismo procedimiento pero no llego a la ecuación original en el término z.
Pues, no he hecho cosas de este tipo. Creo que hay un fallo en el desarrollo del ejemplo.
Tenemos
4m^3+y^3=2z^3
y tiene que ser par y=2n sustituimos
4m^3 + 8n^3 = 2z^3
2m^3 + 4n^3 = z^3
z tiene que ser par, z=2t
2m^3+4n^3 = 8t^3
m^3 +2n^3 = 4t
que es la misma que teníamos al principio
x^3 + 2y^3 = 4z^3
por lo que m es solución de la ecuación inicial.
Y como x = 2m ==> m = x/2 <= x
eso solo puede darse si x=0
lo mismo sucede con y y n, luego y=0
y con z y t, luego z=0
Vale, entonces entiendo que las soluciones deben ser números naturales, puesto que el principio de buen orden se da en los naturales pero en los enteros no.
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x^3 + 1991^3 = z^4 tiene soluciones infinitas
Oye, de verdad que no tengo ni idea. Supongo que es viendo que si hay una respuesta se puede construir otra mayor. Pero no se como hallar una, porque es imprescindible que haya una para poder empezár, ni como a partir de una conseguimos otra mayor.
Si estás estudiando dime el qué es y tendrás algún libro de teoría supongo. ¿O de dónde ha salido este problema?
