Sólidos de revolución ( primera parte )

Como me comentaste en una anterior respuesta, te mando el ejercicio en dos partes siendo esta la primera en la que se involucran el inciso a y el b.

Buenas tardes Valeroasm me permito hacerte la siguiente pregunta:
Obtener el volumen del solido que gira en la región acotada por las siguientes funciones:
y= sqr(X) , y=0, x=4 Por revolución en torno de:


a) El eje x b)El eje y
Seria todo, te agradezco de antemano tu ayuda y espero que tengas un buen dia, hasta luego.

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a) La fórmula del volumen para una función girando en torno del eje X es:

$$V=\pi\int_{x_0}^{x_1}[f(x)]^2dx$$

Los límites son líneas verticales de ecuación y=xo, y=x1 y la función del integrando es una función de x, o sea y=f(x)

Cuando el área está limitada entre dos funciones se calcula el volumen generado por la más externa y se le resta el volumen generado por la interior. Si las curvas se cruzan hay que dividir en trozos y hacer integrales en cada trozo.

En este caso de girar en torno a X no se resta ningún volumen ya que la curva interior es y=0 que no genera ningún volumen por ser el eje de giro.

$$\begin{align}&V=\pi\int_0^4(\sqrt x)^2dx=\pi\int_0^4xdx=\\ &\\ &\pi \left.  \frac{x^2}{2}\right|_0^4=\pi \frac{16}{2}=8\pi\end{align}$$

b) Cuando gira respecto al eje Y la fórmula es

$$V=\pi\int_{y_0}^{y_1}g(y)dy$$

La función hay que ponerla en la forma x=g(y). Si antes la teníamos como función de x

y=f(x) ahora será x=f^-1(y)

Y los límites son ahora líneas horizontales y=yo, y=y1

La función es y=sqrt(x) luego en función de y es x=y^2

Los límites de integración en y son 0 y 2

Y esta vez hay que tener en cuenta que hay un hueco, el volumen exterior lo genera la función x=4 y el interior la función x=y^2

El volumen será:

$$\begin{align}&V=\pi\int_0^24^2dy-\pi\int_0^2(y^2)^2dy=\\ &\\ &\\ &\pi\int_0^2(16-y^4)dy =\\ &\\ &\\ &\pi \left[16x-\frac{y^5}{5}  \right]_0^2=\\ &\\ &\pi\left(32-\frac{32}{5}  \right)=\frac{128}{5}\pi\end{align}$$

Y eso es todo.

¡Ah, no olvides mandar la otra parte! Que una vez puntúas la pregunta queda cerrada y no puedo comunicarme contigo.

Gracias, ya te mande la segunda parte como una pregunta aparte, especifico que es la segunda parte una saludo y muchas gracias por tu pronta respuesta.

Espera, que acostumbrado a integrar siempre respecto de x puse variable x en una integral (16x) cuando era y. No afecta al resultado pero no era correcto y lo corrijo.

$$\begin{align}&V=\pi\int_0^24^2dy-\pi\int_0^2(y^2)^2dy=\\ &\\ &\\ &\pi\int_0^2(16-y^4)dy =\\ &\\ &\\ &\pi \left[16y-\frac{y^5}{5}  \right]_0^2=\\ &\\ &\pi\left(32-\frac{32}{5}  \right)=\frac{128}{5}\pi\end{align}$$

Y eso es todo.

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