Problemas de análisis combinatorio 2
1. En una lotería son escogidos al azar seis números del conjunto {1,2,3,..., 49}
por lo que hay (49
6) Elecciones posibles.
¿Cuántas de esas elecciones tienen al menos dos números consecutivos?
Nota en la parte de que dice (49
6) Todo es entre paréntesis 49 arriba y 6 abajo entre paréntesis.
1 Respuesta
Es bastante complicado. La verdad
Los números serán N1, N2, N3, N4, N5 y N6 puestos en orden creciente
Vamos a definir otros números que voy a llamar huecos
H0 = N1-1
H1 = N2-N1-1
H2 = N3-N2-1
H3 = N4-N3-1
H4 = N5-N4-1
H5 = N6-N5-1
H7 = 49- N6
Como su nombre dice indicen cuantas bolas podría haber entre 2 bolas o entre la bola 1 y la primera o entre la bola última y la 49
Habrá al menos 2 números consecutivos cuando al menos uno de los huecos
{H1, H2, H3, H4, H5} es cero
Todo combinación de la lotería se corresponde con una combinación de 7 huecos
ya que
N1 = H0+1
N2 = H0 + H1 + 2
N3 = H0 + H1+ H2 + 3
N4 = H0 + H1 + H2 + H3 + 4
N5 = H0 + H1 + H2 + H3 + H4 +5
N6 = H0 + H1 + H2 + H3 + H4 + H5 + 6
Y los huecos pueden tomar cualquier valor siempre que la suma de los 7 sea 43
Es por ello que el número de sorteos posible son las soluciones enteras no negativas de la ecuación
H0 + H1 + H2 + H3+ H4 + H5+ H6 = 43
Esto son las combinaciones con repetición de 7 elementos tomados de 43 en 43
CR(n,k) = C(n+k-1, k)
Cr(7, 43) = C(43+7-1, 43) = C(49,43) = C(49,6)
Que efectivamente vemos que es el mimo número de sorteos posibles
Entonces puede ser que los números consecutivos sean los dos primeros, entonces H1=0
La ecuación quedaría
H0+H2+H3+H4+H5+H6 = 43
El número de soluciones enteras no negativas es
CR(6, 43) = C(48,43) = C(48,5)
O puede ser H1 no sea 0 y lo sea H2
Igual que antes hay C(48,5) combinaciones donde H2=0 pero hay que quitar los que también lo es H1 que son
H0 + H3 + H4+ H5 + H6 = 43
CR(5,43) = C(47,43) = C(47,4)
Luego las que H1<>0 y H2=0 son C(48,5) - (C47, 4)
O puede ser que no sean 0 ni H1 ni H2 pero lo sea H3
Estas serán
C(48,5) - (las que tienen H3=H1=0) - (las que tienen H3=H2=0) + (las que tienen H3=H2=H1=0)
C(48,5) - C(47,4) - C(47,4) + C(46,3) = C(48,5) - 2·C(47,4) + C(46,3)
Lo dejo aquí porque se me hizo muy tarde, pero parece que va algo encaminado el asunto.
Un saludo.
Por un fallo de la página yo pensaba que esto estaba mandado hace dos días, ahora me doy cuenta que no, que asco de página.
Lo mando ahora y luego te mando otra cosilla, aunque todavía no la respuesta final calculada por una persona, eso aun tardaré.
Antes de continuar con la resolución tal como había empezado he querido hacer el cálculo por ordenador. En realidad es medio ordenador ya se ha omitido estudiar muchos casos dando el resultado calculado de todos ellos. No voy a explicar el programa, simplemente lo pongo y doy el resultado. A ver si cuando lo haga por métodos teóricos da el mismo resultado.
program Project1;
{$mode objfpc}{$H+}
uses
{$IFDEF UNIX}{$IFDEF UseCThreads}
cthreads,
{$ENDIF}{$ENDIF}
Classes
{ you can add units after this };
var total, i1,i2,i3,i4,i5 :integer;
begin
total:=0;
for i1:=1 to 44 do
begin
inc(total,(48-i1)*(47-i1)*(46-i1)*(45-i1) div 24);
for i2:=i1+2 to 45 do
begin
inc(total,(48-i2)*(47-i2)*(46-i2)div 6);
for i3:=i2+2 to 46 do
begin
inc(total,(48-i3)*(47-i3) div 2);
for i4:=i3+2 to 47 do
begin
inc(total,48-i4);
if (i4<=46) then inc(total,47-i4);
end;
end;
end;
end;
writeln('Total = ',total);
readln;
end.
Y el resultado ha sido.
Total = 6924764
Continuaré intentando resolverlo por el método teórico, aunque puedo tardar.
