Sistema Wronskiano con soluciones
Si el sistema
$$\left\{
\begin{array}{l l}
\frac{dx}{dt}=y \\
\frac{dy}{dt}=-x\\
\end{array} \right.$$se satisface por las soluciones
$$\left\{
\begin{array}{l l l l}
x_1=\cos(t)\\
y_1=-sen(t)\\
x_2=sen(t)\\
y_2=\cos(t)\\
\end{array} \right.$$, el valor del wronskiano es:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
El Wronskiano ya lo usé en otros ejercicios para ver si las soluciones de ecuaciones diferenciales eran linealmente independientes, pero aquí no se como usarlo.
Bueno, aquí acabé las dudas que tenía de mi temario de matemáticas.
1 respuesta
El wronskiano de n funciones es el determinante de una matriz nxn en que la primera fila tiene las funciones dadas, la segunda fila las derivadas primeras, la tercera las segundas y así sucesivamente hasta las derivadas n-1.
En este caso es:
$$\begin{vmatrix}
x_1(t)& y_1(t) \\
x_1´(t)& y_1´(t)
\end{vmatrix}$$Los wronskianos de nuestras funciones son:
$$\begin{vmatrix}
\cos t & -sen t \\
-sen t & -\cos t
\end{vmatrix}=-\cos^2 t-sen^2t=-1$$$$\begin{vmatrix}
sen t & \cos t \\
\cos t & -sen t
\end{vmatrix}=-sen^2 t-\cos^2 t = -1$$Luego el wronskiano de las respuestas es -1, no aparece entre las respuestas posibles.
Y eso es todo.
Muchísimas gracias Valeroasm!
Excelente!, pero el wronskiano no tiene ningún matiz del valor sea valor absoluto?
y otra dudilla, es sobre el sistema inicial, el signo "-" delante de la x ¿no nos afecta para nada?, es decir, en el wronskiano solo jugamos con las soluciones?
Gracias!!!
No, el wronskiano no tiene ningún matiz de que sea el valor absoluto, se define simplemente como el determinante:
http://es.wikipedia.org/wiki/Wronskiano
A nosotros nos dan las soluciones particulares de la ecuación diferencial y el wronskiano se usa para ver si son linealmente independientes. Simplemente tenemos que colocar cada solución particular en la primera fila (las dos componentes) y su derivada en la fila de abajo (las dos componentes) y calcular el determinante.
Si la pregunta fuera el valor absoluto del wronskiano entonces sería 1. Pero como es el valor del wroskiano, la respuesta es -1.
