Anónimo
Ecuación diferencial ordinaria
Valero Angel, me podría ayudar por favor a resolver ecuación diferencial ordinaria y"=2g por método de operador anulador. Obtener solución general y solución particular (2,1) sabiendo que la primera derivada es igual a 1 cuando x=2 y g es 9.81. Determinar la gráfica con las condiciones mencionadas: Xo=2, Yo=1 y Xo=2, Yo=1.
1 Respuesta
La solución general es la suma de la general de la homogéna más una solución particular de la completa.
La homogénea es
y'' = 0
su ecución característica es
k^2=0
Que tiene dos soluciones repetidas k=0 por lo que la solución general de la homogénea es
ygh = C1·e^(0x) + C2·x·e^(0x) = C1 + C2·x
Para calcular la particular buscamos el anulador de la función de la parte derecha.
Dicha función es una constante 2g = 2g·x^0
El anulador D^(n+1) anula los polinomios 1, x, x^2, ..., x^n y sus combinaciones lineales, luego para anular 2gx^0 sirve el anulador D^1 = D
La ecuación original con el operador D es
(D^2)y = 2g
y aplicando el anulador en ambos lados tendremos
D(D^2)y = D 2g = 0
(D^3)y = 0
La solución general de esta ecuación es
C1 + C2·x + C3·x^2
Como C1 + C2·x es la general de la homogenea, la particular de la completa será
ypc = C3·x^2 a falta de calcular C3 por el método de coeficientes indeterminados
Primero calculamos la derivada segunda
ypc' = 2C3·x
ypc'' = 2C3
y ahora sustituimos en la ecuación completa
2C3 = 2g
C3 = g
Por lo tanto la solución general de la completa es
ygc = C1 + C2·x + gx^2
--------
La solución particular en
y(2)=1
y'(2)=1
se calcula así
y(2) = C1 + 2C2 + 4g = 1
y'= C2 + 2gx
y'(2) = C2 + 4g = 1
Hay que resolver este sistema
C2 + 4g = 1
C1 + 2C2 + 4g = 1
en la primera despejamos
C2 = 1 - 4g
y sustituimos en la segunda
C1 + 2 -8g + 4g = 1
C1 = 4g-1
Luego la solución particular con esas condiciones es
y = (4g-1) + (1-4g)x + gx^2
y = 38.24 - 38.24x + 9.81x^2
La gráfica mejor mírala aquí porque para que se vea algo se tienen que deformar mucho los ejes y mi programa de gráficas no deja hacer uno más grande que el otro
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+38.24+-+38.24t+%2B+9.81t^2
Ten en cuenta que no es un movimiento en el plano, el movimiento es en vertical y el eje horizontal representra el tiempo.
¡Gracias!
Yo pensaba que se podía enlazar con lo que escribí porque se ponía en azul subarayado, déjame que haga una prueba de otra forma.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+38.24+-+38.24t+%2B+9.81t^2
Me parece que no funcionan los enlaces en esta página, algo debe estar fallando
Gráfica de la ecuación
Nada, definitivamente no funcionan
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