Uso e importancia de las distribuciones conjuntas de probabilidad.
Sean x y y los niveles de concentración en ppm de dos contaminantes en una determinada porción de un tanque de agua. Si la función de densidad conjunta de probabilidad está dada por:
f(x,y) = (x+y) / 8000
0 mayor que x,y menor que 20 o para cualquier otro valor.
Resuelve:
a) Comprueba que es una función de densidad conjunta.
b) Encuentra la función de distribución conjunta (bivariada) de x y y (recuerden que es la
acumulada F(x,y))
c) ¿Cuál es la probabilidad conjunta de que el contaminante x sea menor 10 y el
contaminante y sea menor 8?
d) Encuentra las funciones de densidad marginal fx(x) y fy(y).
e) Encuentre función de probabilidad condicional de Y, dado X ( fy/x (x,y)) o como viene en
el contenido de la materia f(x/y) )
f) Obtenga la probabilidad de que contaminante x sea igual a 5 y el contaminante y sea
menor que 15 (Distribución condicional).
Para la el inciso "a" debes integrar la función dentro de todo su recorrido y debe ser igual a 1.
Para el "b" debes integrar con respecto a X y Y, donde los limites superiores de cada integral son x y y respectivamente.
En el c, integras la conjunta, donde 10 y 8 son los limites superiores de integración.
Para la marginal, si es la marginal de x, integras con respecto a Y, a lo largo de su recorrido, hacer lo mismo para y.
La e se sigue directamente de la formula, que es f(x, y)/f(x)
La f, mediante la formula de la condicional fijas el x en 5 y resuelves la integral, donde el limite superior de integración de Y es 15.
Muchas gracias por su apoyo! Podría por por favor ayudarme a resolver los incisos. Entiendo lo que se tiene que hacer pero me cuesta un poco de trabajo y estoy insegura de llegar al resultado correcto. Muchas gracias!
1 respuesta más de otro experto
Hola! No se observa la respuesta. Podría volver a enviarla? Gracias!!
¡Vaya, se mandó sola la respuesta!
f(y|x) = f(x,y) / fx(x)
donde fx(x) es la función de densidad marginal de X
$$\begin{align}&f_x(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy=\\ &\\ &\int_0^{20}\frac{x+y}{8000}dy=\\ &\\ &\frac {1}{8000}\left[xy+\frac{y^2}{2} \right]_0^{20}=\\ &\\ &\frac{1}{8000}(20x+200) = \frac{x+10}{400}\end{align}$$luego
$$\begin{align}&f(y|x) = \frac{x+y}{8000}\div \frac{x+10}{400}=\\ &\\ &\frac{400(x+y)}{8000(x+10)}=\frac{x+y}{20(x+10)}\end{align}$$Y la función de probabilidad condicional será:
$$\begin{align}&F(y|x) =\int_{-\infty}^{y}f(t|x)dt =\\ &\\ &\int_0^{y}\frac{x+t}{20(x+10)}dt =\\ &\\ &\left[\frac{xt+\frac{t^2}{2}}{20(x+10)} \right]_0^y=\\ &\\ &\frac{2xy+y^2}{40(x+10)}\end{align}$$2) No está claro el enunciado.
Si es la probabilidad de que el contaminante x sea igual a 5 y el contaminante y sea menor que 15, entonces la probabilidad es cero. La probabilidad de que un intervalo de longitud cero es cero.
Otra cosa es si preguntan, dado que x es 5 calcula la probabilidad de que y <=15.
Eso es probabilidad condicionada y lo que haremos es usar la fórmula que acabamos de calcular
F(15 | x=5) = (2·5·15 + 15^2) / [40(5+10)] = 375 / 600 = 5/8
Y eso es todo.
A veces eso se debe a una conexión pobre a internet. Otras veces es momentáneo y depende también del navegador. De todas formas mando de nuevo los bloques de fórmulas para ver si ahora se te ven, a mí se me ven bien ahora. Alguna vez cambio del Firefox al Explorer o Chrome cuando no se me ven y funciona.
$$\begin{align}&f_x(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy=\\ &\\ &\int_0^{20}\frac{x+y}{8000}dy=\\ &\\ &\frac {1}{8000}\left[xy+\frac{y^2}{2} \right]_0^{20}=\\ &\\ &\frac{1}{8000}(20x+200) = \frac{x+10}{400}\end{align}$$luego
$$\begin{align}&f(y|x) = \frac{x+y}{8000}\div \frac{x+10}{400}=\\ &\\ &\frac{400(x+y)}{8000(x+10)}=\frac{x+y}{20(x+10)}\end{align}$$Y la función de probabilidad condicional será
$$\begin{align}&F(y|x) =\int_{-\infty}^{y}f(t|x)dt =\\ &\\ &\int_0^{y}\frac{x+t}{20(x+10)}dt =\\ &\\ &\left[\frac{xt+\frac{t^2}{2}}{20(x+10)} \right]_0^y=\\ &\\ &\frac{2xy+y^2}{40(x+10)}\end{align}$$Ojalá lo veas ahora.