Carga y campo eléctrico :s
Que tal disculpen la molestia pero necesito ayuda urgente para resolver este ejercicio ya que es de una guía de examen y no tengo ni idea de como se desarrolla, estoy investigando en libros pero en si no he emcontrado algo que me lleve a su resolución, les agradecería muchísimo si alguien me lo pudiera explicar paso a paso hasta obtener el resultado, enserio gracias.
*-La lamina finita 0<=x<=1 , 0<=y<=1 situada en el plano z=0 tiene una densidad de carga Ps=xy(x^2+y^2+25)^3/2 nC/m^2.Encuentre:
a)La carga total de la Lamina.
b)El campo eléctrico en (0,0,5)
*-La lamina finita 0<=x<=1 , 0<=y<=1 situada en el plano z=0 tiene una densidad de carga Ps=xy(x^2+y^2+25)^3/2 nC/m^2.Encuentre:
a)La carga total de la Lamina.
b)El campo eléctrico en (0,0,5)
3 respuestas
Respuesta de megawatt
1
Pues lo básico acá es saber de calculo en varias variables y las relaciones vectoriales entre campo eléctrico y potencial eléctrico, lamentablemente acá no hay símbolos para poner lo que corresponde pero recordemos o asignemos lo siguiente
grad(F) = (d/dx, d/dy, d/dz ) F
d/dx , d/dy , d/dz son derivadas parciales
Si E es el vector campo electrico y V el potencial electrico escalar la relacion es
E = grad (V)
Para responder la pregunta a) calculamos la integral doble
Q = int(0,1) int(0,1) Ps dxdy
el simbolo int (0,1) denota integral entre 0 y 1 de x o y
Para responder b) debemos saber cual es el potencial eléctrico en cualquier punto (x, y) de la lamina
El diferencial de carga sera
dq = Ps dxdy
la distancia de cualquier punto de la lamina a un punto generico (u,v,w) sera
r = ((x-u)^2 + (y-v)^2 + w^2 ) ^ 1/2
un diferencial del potencial en (u,v,w) sera
dV = -1/(4*pi*e0) * dQ/r
Por lo que el potencial total de obtiene integrando x e y entre los limites anteriores
El resultado sera una función de potencial V(u, v, w) aplicamos la relación con esas variables
E = grad(V) en el punto (0,0,5)
o sea u=0, v=0, w =5
saldrá un vector de 3 componentes
E= (d/du , d/dv , d/dw ) V
evaluado en (0,0,5)
grad(F) = (d/dx, d/dy, d/dz ) F
d/dx , d/dy , d/dz son derivadas parciales
Si E es el vector campo electrico y V el potencial electrico escalar la relacion es
E = grad (V)
Para responder la pregunta a) calculamos la integral doble
Q = int(0,1) int(0,1) Ps dxdy
el simbolo int (0,1) denota integral entre 0 y 1 de x o y
Para responder b) debemos saber cual es el potencial eléctrico en cualquier punto (x, y) de la lamina
El diferencial de carga sera
dq = Ps dxdy
la distancia de cualquier punto de la lamina a un punto generico (u,v,w) sera
r = ((x-u)^2 + (y-v)^2 + w^2 ) ^ 1/2
un diferencial del potencial en (u,v,w) sera
dV = -1/(4*pi*e0) * dQ/r
Por lo que el potencial total de obtiene integrando x e y entre los limites anteriores
El resultado sera una función de potencial V(u, v, w) aplicamos la relación con esas variables
E = grad(V) en el punto (0,0,5)
o sea u=0, v=0, w =5
saldrá un vector de 3 componentes
E= (d/du , d/dv , d/dw ) V
evaluado en (0,0,5)
Respuesta de eudemo
1
No se que parte del problema es la que no entiendes.
Te imaginas el cuadrado de 1 metro de lado en el plano z=0
¿Si?
Bien en cada punto (x; y;0) de ese cuadrado hay densidad de carga superficiale que vale xy(x^2+y^2+25)^3/2
Si las sumamos todas obtendremos la carga total .
Q=Integral dq con dq=Ps dA
Es decir que integraremos la densidad de carga sobre el área.
Q=Integral xy(x^2+y^2+25)^3/2 dArea
El diferencial de área es dArea =dx.dy
Entonces es
Q=Integral xy(x^2+y^2+25)^3/2 dx.dy
Es decir que matemáticamente resolvemos la integral doble integrando primero con respecto a x (con limites de integración x=0 x=1)
Luego integramos con respecto a y (limites de integración y=0 y=1)
Recuerda que al integrar con respecto a x la y se toma como constante.
Para hallar el campo eléctrico hacemos lo mismo pero hay que dividir por el cuadrado de la distancia y multiplicar por la constante K=9.10^9 Nm^2/C
El cuadrado de la distancia del punto (x;y ;0) al punto (0,0,5) vale d^2=x^2+y^2+25
Piensa ahora en el cuadrado yaciendo horizontal
De uno de sus vértices se eleva verticalmente el eje z .
Sobre ese eje a 5 metros de altura esta el punto donde hay que calcular el campo eléctrico E. Por la ley de Coulomb cada diferencial de carga produce en el punto un aporte de campo eléctrico de modulo E=K dq/d^2
Como el campo eléctrico es un vector no podemos sumar módulos. Hay que sumar por separado las componentes z del campo eléctrico .
Para hallar la componente z de E multiplicamos la expresión que da el modulo de E por el coseno del ángulo. El coseno del ángulo vale cos alfa=5/d=5/(x^2+y^2+25)^1/2
La integral que hay que calcular es
Ez= Integral K ( Ps/d^2 ) . cos alfa dx dy
Las componentes Ex y Ey hay que calcularlas aparte
Bueno tienes para entretenerte. Si quieres comienza a trabajar y me vuelves a preguntar las dudas que te surjan
Te imaginas el cuadrado de 1 metro de lado en el plano z=0
¿Si?
Bien en cada punto (x; y;0) de ese cuadrado hay densidad de carga superficiale que vale xy(x^2+y^2+25)^3/2
Si las sumamos todas obtendremos la carga total .
Q=Integral dq con dq=Ps dA
Es decir que integraremos la densidad de carga sobre el área.
Q=Integral xy(x^2+y^2+25)^3/2 dArea
El diferencial de área es dArea =dx.dy
Entonces es
Q=Integral xy(x^2+y^2+25)^3/2 dx.dy
Es decir que matemáticamente resolvemos la integral doble integrando primero con respecto a x (con limites de integración x=0 x=1)
Luego integramos con respecto a y (limites de integración y=0 y=1)
Recuerda que al integrar con respecto a x la y se toma como constante.
Para hallar el campo eléctrico hacemos lo mismo pero hay que dividir por el cuadrado de la distancia y multiplicar por la constante K=9.10^9 Nm^2/C
El cuadrado de la distancia del punto (x;y ;0) al punto (0,0,5) vale d^2=x^2+y^2+25
Piensa ahora en el cuadrado yaciendo horizontal
De uno de sus vértices se eleva verticalmente el eje z .
Sobre ese eje a 5 metros de altura esta el punto donde hay que calcular el campo eléctrico E. Por la ley de Coulomb cada diferencial de carga produce en el punto un aporte de campo eléctrico de modulo E=K dq/d^2
Como el campo eléctrico es un vector no podemos sumar módulos. Hay que sumar por separado las componentes z del campo eléctrico .
Para hallar la componente z de E multiplicamos la expresión que da el modulo de E por el coseno del ángulo. El coseno del ángulo vale cos alfa=5/d=5/(x^2+y^2+25)^1/2
La integral que hay que calcular es
Ez= Integral K ( Ps/d^2 ) . cos alfa dx dy
Las componentes Ex y Ey hay que calcularlas aparte
Bueno tienes para entretenerte. Si quieres comienza a trabajar y me vuelves a preguntar las dudas que te surjan
Muchas gracias eudemo tu explicación es clara te agradezco la molestia, solo he resuelto el inciso "a" pero ya no tengo que resolver lo de más je je, de todas formas te agradezco.
Respuesta de Santino Galvez
Mira hay dos respuesta una en funcion de la Arctangente, W, L e y y otra con la función Arcseno que es mas simple y la adecuas a tus coordenadas en el espacio. Primero hay que resolver el problema 3 y de esa expresión integramos para una lamina finita. La parte del problema 3 la puedes ver en youtube con el profesor Gónzales Izquierdo y la parte de problema 5 que es la que tu quieres tengo la demostración en hojas de borrador. Si todavía la necesitas hasmelo saber