Calcula la integral definida

$$\begin{align}&\int_{-2}^7\left(5x^3+\frac 23 x^2 \right)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\left(5x_i^3+\frac 23 x_i^2\right)\Delta x_i\\ &\\ &\Delta x_i = \frac{7-(-2)}{n}= \frac 9n\\ &\\ &x_i=-2+\frac {9i}n\\ &\\ &S=\lim_{n \to \infty}\frac 9n\sum_{i=0}^{n-1}\left[5\left(  -2+\frac {9i}n\right)^3+\frac 23\left(-2+\frac{9i}{n}\right)^2 \right]=\\ &\\ &\\ &\lim_{n \to\infty}\frac 9n \sum_{i=0}^{n-1}\left[5 \left(\frac{729i^3}{n^3}-\frac{486i^2}{n^2}+\frac{108i}{n}-8  \right)+\frac 23\left(\frac{81i^2}{n^2}-\frac{36i}{n}+4  \right) \right]=\\ &\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\left[\frac{32805}{n^4}\sum_{i=0}^{n-1}i^3 +\left(\frac{-21870+486}{n^3}\right)\sum_{i=0}^{n-1}i^2+\left(\frac{4860-216}{n^2} \right)\sum_{i=0}^{n-1}i\right]-2160+24=\\ &\\ &\text{La suma de los n primeros cubos es:}\\ &\\ &\sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\implies\sum_{i=0}^{n-1}i^3=\frac{(n-1)^2(n)}{4}\\ &\\ &\text {Y la de los cuadrados:}\\ &\\ &\sum_{i=1}^{n}i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \implies \sum_{i=0}^{n-1}i^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\\ &\\ &\text{Y la de los naturales:}\\ &\\ &\sum_{i=1}^ni = \frac{n(n+1)}{2}\implies \sum_{i=0}^{n-1}i = \frac{n(n+1)}{2}\\ &\\ &\text{Y la suma Riemann es:}\end{align}$$

El ordenador no puede cuando se le mete todo ese código en el editor de ecuaciones vamos a simplificar, en el otro ejercicio que hice lo tienes completo

En los límites cuando n tiende a infinito, si numerador y denominador tienen el mismo grado, lo único que cuenta son los coeficientes de mayor grado. Donde haya n^4 los n^3, n^2 y n no valen para nada al calcular el límite de ese cociente, donde haya n^3 no pintan nada n^2 y n, etc. Asi que vamos a quedarnos con el coeficiente de mayor grado de cada una de esos sumatorios de los cubos, cuadrados y simples

El coeficiente de grado 4 de la suma de los cubos es 1/4

El coeficiente de grado 3 de la suma de los cuadrados es 2/6 = 1/3

El coeficiente de grado 2 de la suma de los naturales es 1/2

Y aplicando esto el límite del término de n^4 es 32805/4

el del término con n^3 es (-21870+486)/3 = -7128

El del término con n^2 es (4860-216)/2 = 2322

Y la suma es

S = 32805/4 - 7128 + 2322 - 2160 + 24 =

32805/4 - 6492 =

(32805 - 27768) / 4 = 5037/4

Bueno, si ha salido bien será un milagro.

Y en efecto, ha salido mal porque Máxima dice 12237/4

Pues aquí es imposible trabajar, ya que hasta que no se manda la pregunta no se ve lo que hay en el editor en una ventana decente. Te mando la respuesta para poder verlo y corregir.

Espera que lo corrija. De todas formas no vuelvo a hacer sumas de Riemann de grado 3.