Ejercicio de complejos
-el complejo w=4+3i es la raíz cuarta de un cierto numero complejo z determinar las restantes raíces de z y representar el polígono regular cuyos vértices son los afijos de todas las raíces. ( en este se trata de un cuadrado el problema lo tengo que no estoy segura de como hallar el argumento no se si esta bien como yo lo he hecho la raíz sería raíz cuarta de 5 )
- sea P(x,y) el afijo de un numero complejo v=x+iy que satisface la ecuación |x-w|=2 determinar el lugar geométrico que representa en el plano de Gauss.
1 respuesta
Las raíces cuartas de un número complejo son cuatro, una de ellas está en el cuadrante primero y las restantes tienen ese mismo módulo y 90º, 180 y 270º más que esa primera.
w = 4+3i está en el primer cuadrante porque sus partes real e imaginaria son positivas.
Esta raíz es la que se obtiene dividiendo entre 4 el ángulo del número del cual queremos hallar la raíz.
Luego
|z| = sqrt(3^2+4^2)^4 = 5^4 = 625
ang(z) = 4·arctg(3/4)
Vamos a usar fórmulas trigonométricas en vez de la calculadora
tg(2a) = 2·tga / (1-tg^2(a))
ang(z) = 2·arctg [(6/4) / (1-9/16)] = 2·arctg[(6/4)(7/16) = 2arctg(24/7)
ang(z) = arctg[(48/7) / (1-576/49)] = arctg[48/7)/(-527/49)] = arctg(-336/527)
Ahora consiste en tomar el punto a distancia 625 en esa dirección. Es un ángulo del segundo cuadrante luego x será negativa e y positiva
y/x = -336/527
x^2 +y^2 = 625^2
x^2 + 336^2·x^2/527^2 = 625^2
(527^2+336^2)x^2 = (625·527)^2
x = -sqrt[(625·527)^2 / (527^2+336^2)] = - 625·527 / sqrt(527^2+336^2) = -527
y = 336·527 / 527 = 336
Luego z = -527 + 336i
Las raíces cuartas forman un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 5.
Los vértices son (4,3), (-3,4),(-4,-3) y (3,-4)
Cada uno se obtiene rotando 90º el anterior, sale un vector perpendicular, de ahi que permutan las coordenadas x e y.
---------------------
|x-w| = 2
sea x= a + bi
| a+bi - 4 -3i | = 2
|a-4 +(b-3)i| = 2
sqrt[(a-4)^2 + (b-3)^2] = 2
(a-4)^2 + (b-3)^2 = 4
Esto es una circunferencia de centro (4,3) y radio 2
Y eso es todo.
