Probabilidad mezclando dados y bolas
Tenemos 3 dados. 2 de ellos son normales pero el tercero está cargado, lo que significa
que la probabilidad de obtener el 6 es el doble que la de obtener el 1, 3 o 4 ( y la
probabilidad de obtener estos últimos es la misma) y 4 veces mayor que de obtener el
2 o el 5 ( que a su vez tienen la misma probabilidad de ser obtenidos)
Lanzamos un dado de forma aleatoria, si obtenemos un número par, cogemos 2 bolas de
una urna que contiene 3 bolas blancas y 2 negras y las introducimos en una segunda urna
que contiene 2 rojas y 1 negra. Si obtenemos un número impar se repite el mismo
experimento pero en este caso las dos bolas extraídas de la primera urna se introducen
en otra urna que contiene 2 bolas rojas y 5 negras, finalmente extraemos una bola de la
última urna.
1. Probabilidad de que la bola extraída sea roja.
2. Si la bola extraída no es roja, cuál es la probabilidad de que el número sacado al
lanzar el dado haya sido par?
Lo he resuelto varias veces pero me da un resultado raro, y no se donde fallo....te agradecería que cuando tengas un ratito, me resolvieras esta duda, muchas gracias por tu tiempo.
Jesús
1 Respuesta
Vayamos paso a paso.
Sea x la probabilidad de sacar 6 en el dado cargado, la de 1,3,4 será x/2 y la de obtener 2, 5 es x/4
x+3x/2+2x/4 = 1
(4x+6x+2x)/4 = 1
x=4/12 = 1/3
Tenemos
P(6)=1/3
P(1)=P(3)=P(4) = 1/6
P(2)=P(5) = 1/12
Con los dos dados primeros la probabilidad de sumar par es
P((primero par y segundo par) U (primero impar y segundo impar)) = (1/2)(1/2)+(1/2)(1/2) = (1/4)+(1/4) = 1/2
Y la probabilidad de impar es 1-1/2= 1/2
Ya con los tres dados
P(Par) = P((2primeros sumen par y el tercero sea 2,4 o 6)U(2primeros sumen impar y el tercero sea 1,3,5)) =
(1/2)(1/12+1/6+1/3)+(1/2)(1/6+1/6+1/12) = 1/2
No he hecho la cuenta porque sacando factor común (1/2) multiplicaba a todas las probabilidades cuya suma era 1.
Luego el cargado del tercer dado no afecta a las probabilidades de que la suma sea par o impar la cual será 1/2 para cada caso.
El cargado si afectaría a que cambie la probabilidad de determinadas suma de números, por ejemplo la P(18) será mayor que sin el. Pero la probabilidad de la paridad es invariante.
Voy a llamar C a la urna que tiene en principio 2 rojas y una negra y D a la que tiene 2 rojas y 5 negras.
La probabilidad de que la bola se saque de C o D es la misma, porque eso dependías de si el lanzamiento de los dados era par o impar.
En la urna que corresponda vamos a añadir dos bolas blancas o negras...
... ¿Sin embargo me piden la probabilidad de que sea roja?
¿SEGURO QUÉ ES asi el enunciado? Es que parece lógico que dado lo enrevesado del problema tuviese la complicación añadida de que las bolas extraídas modificaran la probabilidad final, bien pudiendo extraer bolas rojas de la urna intermedia o bien pidiendo la probabilidad de sacar una bola negra de la última.
Es que así, se saquen las bolas que se saquen de la primera urna, la probabilidad de sacar una bola roja de C será siempre 2/5 y en D 2/9.
Como sacar la última bola de C o D tienen la misma probabilidad, la probabilidad de sacar bola roja será
P(roja) = (1/2)(2/5)+(1/2)(2/9) = 2/10 + 2/18 = (18+10)/90 = 28/90 = 14/45
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2)
Si era par sacábamos de la urna C, si impar de la D
La probabilidad condicionada de un suceso A dado B se expresa
P(A|B) = P(A n B)/P(B)
P(par|no roja) = P(Par y no roja) / P(no roja) =
La probabilidad de no roja es
P(no roja) = 1-P(roja) = 1 - 14/45= 31/45
La probabilidad de par y no roja será haber sacado par y luego una no roja en la urna C donde hay 2 rojas y 3 no rojas
P(par y no roja) = (1/2)(3/5) = 3/10
P(par | no roja) = (3/10) / (31/45) = 3·45/(10·31) = 135/310
Y eso es todo. Siempre que el enunciado fuera este, porque me pareció que podría haber sido otro si hubieran querido hacer más completo el ejercicio. Asegurate que me mandaste el enunciado exacto para ver que hemos resuelto el mismo problema.
MUCHÍSIMAS GRACIAS POR LA RAPIDEZ Y POR TU TIEMPO!!! ES EL VALOR EXACTO QUE ME DABA A MI PERO EN LOS RESULTADOS DEL PROFESOR ESTA MAL Y YA SE LO HE COMENTADO PERO ME PARECE QUE EL SIGUE EN SUS TRECE Y DICE QUE ESTA BIEN... PENSABA QUE ERA YO QUIEN FALLABA, PERO NO ES ASI....
MUCHAS GRACIAS DE NUEVO Y HA SIDO UNA AYUDA INESTIMABLE..
POR CIERTO SI ALGUNA VEZ NECESITAS PREGUNTAR POR ALGO SOBRE REFORMAS O CONSTRUCCIÓN SOLO TIENES QUE PREGUNTARME EN [email protected] Jesús
