Derivación compleja funciones holomorfaso
¿existe una función holomorfa cuya parte sea
$$\begin{align}&u(x,y)=-2x+3x^2+4y+2xy-3y^2\\ &\end{align}$$
1 Respuesta
En efecto. Se refiere que u(x,y) es la parte real que ponen y que puede existir una v(x,y) que es la parte imaginaria.
Ya me temía que sería eso.
Bueno, lo único que podemos usar que yo sepa es que se deben cumplir las condiciones de Riemann
Ux = -2 + 6x + 2y
Uy = 4 + 2x - 6y
y la función V tiene que ser tal que
Vy = Ux = -2 + 6x + 2y
integrando respecto y tenemos
V = -2y + 6xy + y^2 + f(x)
La f(x) es la constante de integración, es cualquier función donde no aparezca la variable y.
Asimismo debe cumplir
Vx = -Uy = -4 - 2x + 6y
integrando respecto x tenemos
V= -.4x - x^2 + 6xy + g(y)
Veamos si son compatibles las dos expresiones de V obtenidas
-2y + 6xy + y^2 + f(x) = -.4x - x^2 + 6xy + g(y)
-2y + y^2 + f(x) = -.4x - x^2 + g(y)
perfecto han volado los términos que dependían de las dos variables
si hacemos
f(x) = -4x - x^2
g(y) = -2y + y^2
tenemos la igualdad
Luego la respuesta es que si es posible, haciendo
V(x,y) = -2y + 6xy + y^2 + f(x)
V(x,y) = -2y + 6xy + y^2 - 4x -x^2
Tendremos una función con derivadas parciales continuas y cumpliendo las condiciones de C-R, luego será holomorfa.
Y eso es todo.
