Series convergentes o divergentes
1)
Diga si las siguientes series son
convergentes o divergentes justifique su respuesta
SSen (2n)
S(-3)-n
n3
1 Respuesta
La serie sen(2n) es divergente.
Sen x cambia de signo cada Pi radianes es decir cada 3.1459... radianes. Si sen(2n) tiene un signo, el termino siguiente sen(2n+2) o el siguiente de este sen(2n+4) tiene el signo contrario.
Entonces únicamente podría ser convergente si tendiese a cero, pero cuando un termino sea próximo a cero el siguiente será próximo a sen 2 o sen (pi+2) que valen
sen 2 = 0.9092
sen(Pi+2) = -0.9092
Luego no puede converger a cero que era la única posibilidad que le quedada y por tanto no es convergente.
La serie que escribes (-3)-n imagino que quieres decir (-3)^(-n). Es necesario poner el símbolo ^ para indicar que es un exponente, lo que habías escrito era una operación de suma o resta.
$$(-3)^{-n}=\frac{1}{(-3)^n}$$Esto va tomando alternativamente signos contrarios, pero tanto el valor absoluto los positivos como de los negativos es cada vez más próximo a cero. Dado un epsilon mayor que cero siempre encontraremos un término a partir del cual todos los términos tienen valor absoluto menor que epsilon, luego el límite de la seré en +infinito es cero.
$$\begin{align}&\left|\frac{1}{(-3)^n}\right|= \frac{1}{3^n}<\epsilon\\ &\\ &\\ &3^n>\frac{1}{\epsilon}\\ &\\ &n>log_3\,\frac{1}{\epsilon} \end{align}$$Tomando n mayor que esa cantidad todos los términos siguiente distan de cero una cantidad menor que epsilon, luego el límite de la serie es cero.
Lo que escribes n3 imagino quieres decir n^3, fíjate que tu has escrito un perfecto producto de factores.
Es claramente divergente la serie tiende a +infinito.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si te ha quedado alguna duda consultámela, y si no, no olvides puntuar.
valeroasm Muchas gracias por la pronta respuesta y explicación.
En realidad la segunda serie es -3^-nn^3 o Sumatoria (-3)^-nn^3
Es la misma solución al ejercicio?
Muchas gracias nuevamente me sirvió muchísimo!!!
Saludos
Entonces creo que lo que quieres saber es si converge la serie, es decir, la suma de sus términos. Es que lo que había hecho yo era solo la convergencia del termino enésimo de la sucesión cuando n tiende a infinito
Y la primera serie sería:
Sen 2n
La serie no converge porque hay un teorema que dice que si una serie converge entonces el término n-simo tiendo a cero cuando n tiende a infinito.
Como demostraba arriba, el término enésimo de sen 2n no tiende a cero en el infinito, luego la serie no converge.
La segunda serie necesito aclaración o que la escribas con todo detalle.
¿Es esta?
$$3^{-n}n^3$$Suponiendo que sea esa.
El término enésimo tiende a cero porque tenderemos un límite de la forma
(n^3) / 3^n
El denominador tiende más rapido a infinito y hace que el cociente tienda a cero.
El criterio de d'Alembert dice que si existe el limite del término n+1 entre el término n
La serie converge si limite<1 y diverge si limite>1
$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3^{-(n+1)}(n+1)^3}{3^{-n} n^3}=\\ &\\ &\\ &\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{3n^3}= \\ &\\ &\\ &\lim_{n \to \infty} \frac{n^3+3n^2+3n+1}{3n^3}=\frac 13\\ &\end{align}$$Como el límite es menor que 1 la serie es convergente.
Y eso es todo.
