Series de Taylor

La serie alrededor de Pi no es la serie de McLaurin, la serie de McLaurin es alrededor del cero.

Hago lo de la serie de Taylor, calcularé las derivadas sucesivas en Pi

f(x) = cos(4x) ==> f(pi) = 1

f '(x) = - 4sen(4x) ==> f '(pi) = -4sen(4pi) = 0

f ''(x) = -16cos(4x) ==> f ''(pi) = -16cos(4pi) = -16

f '''(x) = 64sen(4x) ==> f '''(pi) = 64sen(4pi) = 0

f ''''(x) = 256cos(4x) ==> f ''''(pi) = 256cos(4pi) = 256

Bueno, esto nos da una idea de como van. Los coeficientes impares son cero y los pares son 4^n en valor absoluto. Y el signo es positivo para los múltiplos de 4 y negativo para los que solo son de dos.

Y la serie de Taylor es

$$\begin{align}&\cos(4x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{4^{2n}}{(2n)!}(x-\pi)^{2n}\\ &\\ &\text {es un poco complicada la expresión, la comprobaremos}\\ &\\ &n=0 \implies 1\\ &n=1 \implies -\frac{4^2}{2}(x-\pi)^2\\ &n=2 \implies \frac {4^4}{4!}(x-\pi)^4\end{align}$$

Si, son esos los coeficientes hallados arriba y el factorial y potencia de (x-pi) es el que les corresponde, luego la serie está bien.

Los valores de sen(4x) y cos(4x) son los mismos en x=0 que en x=pi ya que tratándose de radianes tenemos 4pi ~ 0. Luego los coeficientes son los mismos, la única diferencia por tanto en la serie de McLaurin es que será x^(2n) en lugar de (x-pi)^(2n)

Y eso es todo.