Tazas de convergencia en series
Hola! Siguiendo con los temas anteriores.
Pondré de nuevo las definiciones:
Convergencia de sucesiones. Si para todo e>0 existe un entero N tal que:
$$|z_n-z|<e$$
para todo n>= N,
decimos que la sucesión {Zn} converge a z, y escribimos:
$$\lim_{n \to \infty} z_n = z.$$Tasa de convergencia. Decimos que la sucesión {Zn} converge a un número real z con tasa una tasa a si exite una constante finita c que no depende de n, tal que
$$|z_n - z|\leq c(\frac{1}{n})^a$$Convergencia superlineal. Decimos que la sucesión {Zn} converge superlinelamente a un número z si existe una sucesión de números positivos {Cn} tal que:
$$\lim_{x \to \infty} c_n = 0$$y
$$|z_n -z|\leq\frac{c_n}{n}$$Ahora bien. En algunos casos consideramos un parámetro h que tiende a cero en lugar de n tendiendo a infinito. Típicamente, h=(1/n) en muchas de nuestras aplicaciones. Reescribe las definiciones del principio para sucesiones {Zn} onde h>0, y estima la tasa de convergencia, cuando h?0 para las siguientes sucesiones:
1.
$$z_h=\sqrt{h} *sen(h)$$2.
$$z_h=\sqrt{h}*\cos(h)$$3.
$$z_n=\sqrt{h}*e^h$$Muchas gracias por tu ayuda.
1 Respuesta
Las definiciones con h serían:
Convergencia de sucesiones. Si para todo e>0 existe un d>0 tal que
|Zh-z|<e para todo h<d
decimos que la sucesión {Zh} converge a z y escribímos:
lim h-->0+ de Zh =z
Tasa de convergencia. Decimos que la sucesión {Zh} converge a un número real z con tasa una tasa a si existe una constante finita c que no depende de h, tal que
|Zh-z|=ch^a
Convergencia superlineal. Decimos que la sucesión {Zh} converge superlinealmente a un número z si existe una sucesión de números positivos {Ch} tal que:
lim h?0+ de Ch=0
y
|Zh-z| = h·Ch
Esto último léase h por C sub h para evitar confusiones.
1) Zh = sqrt(h)·sen(h)
En algún sitio habrás visto y usado que
lim h-->0 de sen(h)/h =1
Multiplicamos y dividimos por h
lim h-->0 de sqrt(h)·sen(h) = lim h-->0 de h·sqrt(h)·sen(h) / h =
Lim h-->0 de h·sqrt(h) = lim h-->0 de h^(3/2)
Tomando c=1 y a=3/2 se dan las condiciones que dicen que la tasa de convergencia es 3/2
Además. La convergencia es superlineal, tomamos como sucesión de números a Cn=sqrt(n). Como el límite es cero tenemos
|Zh-z| = |Zh| = sqrt(h)·sen(h) = h sqrt(h)·sen(h) / h < h·sqrt(h)
Esa última desigualdad es cierta porque el seno cuando el ángulo tiende a cero es siempre menor que el propio ángulo.
2) sqrt(h)·cos(h)
Aquí cos(h) tiende a 1 cuando h tiende a cero y el límite de la sucesión es cero.
Tendremos
|Zh - z| = |Zh| = sqrt(h) cos(h) < sqrt(h) = h^(1/2)
Luego la tasa de convergencia es 1/2
No hay convergencia superlineal. La hay cuando la tasa es mayor de 1.
3) sqrt(h)·e^(h)
Al igual que en la anterior e^h tiende a 1 cuando h-->0+. Lo malo es que aquí tiende a 1 pero siendo siempre mayor que uno. No obstante podemos tomar e como la constante que se nos permite tomar. Y entonces para todo h < 1 tendremos
|Zh - z| = |Zh| = sqrt(h)·e^(h) < e·sqrt(h) = e·h^(1/2)
Luego el límite será 0 y la tasa de convergencia será 1/2 con lo que no podrá ser superlineal.
Y eso es todo.
