Como resuelvo este problema con matrices
Valeroasm de nuevo tu ayuda, mira ya resolví este problemita muy perecido como tu lo resuelves a otros usuarios, pero mi maestro dice que debe ser con matrices ¡Por favor ayudame! Y gracias por tu tiempo.
Un analista financiero, tiene 1 000 000 para invertir en tres cuentas diferentes. Las cuentas pagan el 6% para “z”, 8 para “x” y 10 % para “y” respectivamente. El objetivo es ganar $86,000 de manera que la cantidad invertida con una tasa de 10% sea igual a la suma de las otras dos inversiones.
Se pide:
a) Determinar cuánto se invertirá en cada cuenta para satisfacer las condiciones.
1 Respuesta
Hay varias métodos matriciales para resolver ecuaciones lineales, pero el más rápido y sencillo es el método de Gauss, consiste en sumar filas multiplicadas por algo a otras filas de manera que consigamos ceros por debajo de la diagonal principal de la matriz.
Planteamos las ecuaciones.
x + y + z = 1.000.000
Estos son los intereses que se cobra
0,08x + 0,10y + 0,06z = 86.000
Vamos a multiplicarla por 100 para que queden números enteros
8x + 10y + 6z = 8.600.000
Y finalmente, como la cuenta del 10% es y tenemos
y = x + z
que ponemos en la misma forma que las otras
x - y + z = 0
Y uno que es perro viejo se da cuenta que es mejor que esta última ecuación vaya la segunda. Formamos la matriz de la ecuación, a la izquierda los coeficientes y a la derecha los resultados
$$\begin{pmatrix} 1&1&1&|&1.000.000\\ 1&-1&1&|&0\\ 8&10&6&|&8.600.000 \end {pmatrix}$$Está bien claro, multiplicamos la primera por (-1) y se la sumamos a la segunda, y también multiplicamos la primera por (-8) y se la sumamos a la tercera. Hay quien prefiere restar en vez de multiplicar por un número negativo y sumar. Allá él, a mí me ha dado siempre mejor resultado lo que digo.
$$\begin{pmatrix} 1&1&1&|&1.000.000\\ 0&-2&0&|&-1.000.000\\ 0&2&-2&|&600.000 \end{pmatrix}\sim \\ \begin{pmatrix} 1&1&1&|&1.000.000\\ 0&-2&0&|&-1.000.000\\ 0&0&-2&|&-400.000 \end{pmatrix}$$Y ya no sería necesario seguir con las matrices, se trata de ahorrar pasos con ellas porque reescribir una matriz entera cuesta mucho trabajo y necesita muchos árboles.
Ya tenemos
- 2z= - 400.000
z=200.000
Y también
-2y = 1.000.000
y = 500.000
y finalmente
x + 500.000 + 200.000 = 1.000.000
x = 300.000
Luego la respuesta es
x=300.000
y=500.000
z=200.000
Y eso es todo, este el el método que se suele emplear. Si te obligan a obtener la matriz unitaria continuarías dividiendo por -2 las filas segunda y tercera y luego restándolas a la primera.
Si te obligan a obtener la solución multiplicando la matriz inversa por el vector de resultados ya sería una pregunta muy compleja y si quieres que la resuelva cierras esta y me mandas una nueva pregunta. SI te ha quedado alguna duda consúltame.
