Problema interesante de probabilidad :solo una de cinco llaves abre una puerta que se quiere abrir.

La probabilidad de acertar es 1/5 y la de fallar 4/5

La probabilidad de que el primer acierto sea en el intento n es

(4/5)^(n-1) · 1/5

Y el promedio será el sumatorio de n por su probabilidad

Pro = 1/5 + 2·(4/5)(1/5) + 3(4/5)^2·(1/5) + 4(4/5)^3·(1/5) + ... =

(1/5)[1 + 2(4/5) + 3(4/5)^2 + 4(4/5)^3 + 5(4/5)^4+....] =

(1/5)[1 + (4/5) + (4/5)^2 + (4/5)^3 + (4/5)^4 + ... +

(4/5) + (4/5)^2 + (4/5)^3 + (4/5)^4 + ... +

(4/5)^2 + (4/5)^3 + (4/5)^4 + ... +

(4/5)^3 + (4/5)^5 + ... +

+ (4/5)^5 + ....+

+ ... ] =

La fórmula para la suma de infinitos términos de una sucesión geométrica de razón r y primer término a1 es:

S = a1 /(1-r)

Aplicándolo en cada linea con r =4/5; 1-r=1/5 tendremos

Pro = (1/5) [1/(1/5) + (4/5)/(1/5) + (4/5)^2/(1/5) + ....] =

simplificando (1/5)

[1 + (4/5) + (4/5)^2+ (4/5)^3 +...] =

y aplicando otra vez la fórmula de la suma infinita

=1 / (1-4/5) = 1/(1/5) = 5

Luego el promedio es 5 intentos. Y no hay margen de error, ese es el promedio exacto.

Como corroboración se ha hecho un programa de ordenador de simulación con 100 millones de aperturas

program Project1;
{$mode objfpc}{$H+}
uses
{$IFDEF UNIX}{$IFDEF UseCThreads}
cthreads,
{$ENDIF}{$ENDIF}
Classes
{ you can add units after this };
var
i,j,suma:Integer;
begin
randomize;
suma:=0;
for i:=1 to 100000000 do
begin
j:=0;
repeat
inc(j,1);
until random(5)=0;
inc(suma,j);
end;
writeln(suma/100000000);
readln;
end.

El resultado fue

5.00038323

Muy aproximado al que debía salir

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame, y si ya está bien no olvides puntuar.