Muestre que la función y=ae^2z . Cos(z). Sen(z) con a y b
Muestre que la función y=ae^(2z) . Cos(z). Sen(z) con a y b son constantes satisface la relación
f''(z)-4f'(y)+f(y)=0
1 Respuesta
Simplemente hay que hacer las derivadas y comprobar.
Pero para hacer mas fácil la comprobación usaremos la identidad trigonométrica
sen(2z) = 2senz·cosz
Luego
cosz·senz = sen(2z)/2
Y la función es
y = (1/2)ae^(2z)·sen(2z)
¿Por cierto?
Hablas de las constantes a y b, pero la b no aparece. Revisa el enunciado para ver si está bien.
si me equivoque, si son a y b pero la ecuación es :
ae^(2z).cos(2z) + be^(2z).sen(2z)
Pues lo comprobamos con la ecuación nueva, más sencilla.
$$\begin{align}&f(z)=ae^{2z}\cos\,2z + be^{2z}sen\,2z=e^{2z}(a\,\cos\,2z+b\,sen\,2z)\\ &\\ &f'(z) = 2e^{2z}(a\,\cos\,2z+b\,sen\,2z)+e^{2z}(-2a\,sen\,2z+2b\,\cos\,2z)=\\ &e^{2z}[(2a+2b)\cos\,2z+(2b-2a)sen\,2z]\\ &\\ &f''(z)=2e^{2z}[(2a+2b)\cos\,2z+(2b-2a)sen\,2z]+\\ &e^{2z}[-2(2a+2b)sen\,2z+2(2b-2a)\cos\,2z]=\\ &e^{2z}[(4a+4b+4b-4a)\cos\,2z+(4b-4a-4a-4b)sen\,2z]=\\ &e^{2z}(8b\,\cos\,2z-8a\,sen\,2z)\end{align}$$Y ahora vamos ha sustituir estos valores en la expresión que nos dan.
$$\begin{align}&f''(z)-4f'(y)+f(y)=\\ &\\ &e^{2z}(8b\,\cos\,2z-8a\,sen\,2z)-\\ &4·e^{2z}[(2a+2b)\cos\,2z+(2b-2a)sen\,2z]+\\ &e^{2z}(a\,\cos\,2z+b\,sen\,2z)=\\ &\\ &e^{2z}[(8b-8a-8b+a)\cos\,2z+(-8a-8b+8a+b)sen\,2z] =\\ &\\ &e^{2z}(-7a\,\cos\,2z-7b\,sen\,2z)\end{align}$$Pues el enunciado está mal, para que se cumpla la igualdad debe ser
f''(z) - 4f'(y) + 8f(y) = 0
Si el enunciado no tiene ese 8 está mal.
Y eso es todo.
