Muestre que la función f(por) donde a y b son constantes satisface la relación
Esta se me hace medio engorrosa, no se que pienses tu, pero va.
Muestre que la función y = a(e^2x)cosx+b(e^2x)senx con a y b son constantes satisface la relación
f``(x)-4f`(x)+f(x) = 0
Sean f1(x)... Fn(x) un conjunto finito de funciones derivables en x0, proponer una formula para (f1x... X fn)`(x) y demostrarla por inducción matemática. Uuuuf!
1 Respuesta
Son dos ejercicios distintos y buenos, haré aquí el primero.
Consiste en hacer la derivadas y comprobar la igualdad
$$\begin{align}&f(x)=ae^{2x}cosx+be^{2x}senx\\ &\\ &f´(x)= 2ae^{2x}cosx-ae^{2x}senx+2be^{2x}senx+be^{2x}cosx=\\ &\\ &e^{2x}[(2a+b)cosx+(2b-a)senx]\\ &\\ &\\ &\\ &f´´(x) = 2e^{2x}[(2a+b)cosx+(2b-a)senx]+\\ &e^{2x}[(-2a-b)senx +(2b-a)cosx] =\\ &\\ &\\ &e^{2x}[(4a+2b+2b-a)cosx+(4b-2a-2a-b)senx] =\\ &\\ &e^{2x}[(3a+4b)cosx+(3b-4a)senx)]\\ &\\ &f´´(x)-4f´(x)+f(x) =\\ &\\ &e^{2x}[cosx(3a+4b-8a+4b+a)+senx(3b-4a-8b+4a+b)]\\ &\\ &e^{2x}(-4acosx-4bsenx)\end{align}$$Pues el enunciado está mal, para que sea cero aun hay que sumarle 4f(x), tendría que ser
f ''(x) - 4f '(x) + 5f(x) = 0
Para que fuese verdadero.
Y lo he revisado varias veces y comprobado con el ordenador, el enunciado está mal.
Y eso es todo.
Hola, una duda.
No entiendo porque en la segunda derivada tienes e^2x[(-2a - b ) sen x
mi duda es porque los signos negativos de 2a y de b.
Me lo podrías aclarar?y lo del enunciado mal lo voy a investigar.
Saludos.
Es la derivada de un producto
(fg)' = f 'g + fg'
(fg)(x) = e^(2x)[(2a+b)cosx+(2b-a)senx]
(fg)'(x) = 2·e^(2x)[(2a+b)cosx+(2b-a)senx] + e^(2x)[(2a+b)(-senx)+(2b-a)cosx] =
2·e^(2x)[(2a+b)cosx+(2b-a)senx] + e^(2x)[(-2a-b)senx+(2b-a)cosx]
Se puede hacer en dos pasos como ves aquí, pero cuando las expresiones son tan largas es conveniente dar algún paso extra para no tener que escribir tanto. Simplemente eran dos factores uno con signo - y he cambiado el signo - al otro factor que ayuda en el siguiente paso. Ademas hay una norma que prefiere que sean los coeficientes los que sufran el signo de un producto.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Respecto a que el enunciado está mal es cierto, ya ha habido algún otro usuario me que me ha dicho que no le salía y es porque está mal.
