Limites y continuidad de funciones

El primer límite toma valor

(4+10-14) / (4-2-2) = 0/0

Debemos dividir por x-2 numerador y denominador. Hay varias formas, por Ruffini (o división sintética), por división entera o por que el ultimo coeficiente es el producto y el segundo la suma o calculando las soluciones de la ecuación de grado 2.

En el numerador -2 y 7 tienen producto 14 y suma 5, luego el numerador es

(x+7)(x-2)

En el denominador -2 y 1 tienen producto -2 y suma -1, luego el denominador es

(x+1)(x-2)

Si no entiendes este método usa el que quieras de los otros.

Entonces:

lim x-->2 de (x^2 + 5x – 14)/(x^2 – x – 2) =

lim x-->2 de (x+7)(x-2) / (x+1)(x-2) =

lim x-->2 de (x+7)/(x+1) = 9/3 = 3

En el segundo DEBE FALTAR algo porque no hay denominador

En el tercero

lim x-->oo de 1/x^2 = 1/oo = 0

En el cuarto

lím x -->0 de ((1 + x)^2 – 1)/x = (1^2 -1)/0 = 0/0

Tenemos que dividir numerador y denominador por x. Para dividir el numerador basta con operarlo

(1+x)^2-1 = 1 + x^2 + 2x -1 = x^2 + 2x

Con esto tendremos:

lím x -->0 de ((1 + x)^2 – 1)/x =

lim x-->0 de (x^2 + 2x) / x =

lim x-->0 de x +2 = 2

El problema de continuidad consiste en dar a la función en el punto x=1 el valor del límite en ese punto:

f(x) = (x^2 + 4x – 5)/(x^2 – 1)

f(1) = (1+4-5) / (1-1) = 0 / 0

Hay que factorizar, sabemos que en x=1 toman valor 0 el numerador y denominador, luego el factor (x-1) está en ambos.

En el numerador -1 y 5 dan producto -5 y suma 4, luego es

(x-1)(x+5)

Y el denominador es una fórmula notable

(x+1)(x-1)

Con lo que

lim x-->1 de (x^2 + 4x – 5)/(x^2 – 1) =

lim x-->1 de (x-1)(x+5) / [(x+1)(x-1)] =

lim x-->1 de (x+5)/(x+1) = 6/2 = 3

Luego para hacerla continua, hay que definir

f(1) = 3