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5)

Cuando el grado del numerador es mayor que el del denominador el límite cuando x tiende a +- infinito tiene módulo infinito y para saber cuál de los dos es tenemos que quedarnos con el término de mayor grado del númerador y denominador y aplicar la regla de los signos.

En este caso si nos quedamos con esos términos queda

2x^2 / x = 2x

sustituyendo

lim x-->+oo de 2x = 2(+oo) = +oo

Luego el límite es + infinito

Y el método tradicional sería:

$$\begin{align}&\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2 – 3x}{x + 1}=\\ &\\ &\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{2x^2 – 3x}{x}}{\frac{x + 1}{x}}=\\ &\\ &\lim_{x\to +\infty}\frac{2x-3}{1+\frac 1{x}}\end{align}$$

Como el numerador tiende a +infinito y el denominador tiende a 1 el límite es +infinito.

6)

Y en este caso el grado del numerador es igual que el del denominador por lo que el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de ese grado mayor

4/8 = 1/2

Por el método largo es

$$\begin{align}&\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^3 + 2x^2 – 5}{8x^3 + x + 2}=\\ &\\ &\lim_{x\to-\infty}\frac{\frac{4x^3 + 2x^2 – 5}{x^3}}{\frac{8x^3 + x + 2}{x^3}}=\\ &\\ &\lim_{x\to-\infty}\frac{4+\frac{2}{x}-\frac{5}{x^3}}{8+\frac{1}{x^2}+\frac {2}{x^3}}=\\ &\\ &\text{los que tienen }x^n\text{ en el denominador tienden a 0}\\ &\\ &\frac{4+0-0}{8+0+0}= \frac 48 = \frac 12\end{align}$$

Y eso es todo.