Aumento del valor de la variable en la misma proporción
Buenas noches Valeroasm!!
Me ha surgido esta duda haciendo unos ejercicios,¿podrías ayudarme a resolverla?
Sea la siguiente función f(x,y) =xy. Situados en el punto (1,3), si aumentamos el valor de la variable en la misma proporción, entonces, respecto al valor de la función en el punto (1,3):
a) El valor de la función será mayor
b) El valor de la función será menor
c) El valor de la función se mantendrá constante
d) Ninguna de las anteriores afirmaciones podemos asegurar que sea cierta.
He estado mirándome mis apuntes, pero ahí no viene nada al respecto.
A la espera de su respuesta,
Gracias y Un Saludo!!
1 Respuesta
No entiendo que quieres decir con aumentar el valor de la variable en la misma proporción. ¿Quiere decir la misma proporción que tienen 1 y 3? ¿O quiere decir que lo que se incrementa en x es lo mismo que lo que se incrementa en y?
Una vez sepamos cuál de las dos opciones es, no creo que sea difícil calcularlo
Si es la primera opción el incremento tendrá proporción inc(y) / inc(x)=3
Y el punto nuevo será (1+inc(x), 3+3inc(y))
mejor usamos (1+h, 3+3h)
f(1+h, 3+3h)= (1+h)(3+3h) = 3+4h+3h^2
Se mandó sola la respuesta, espera que la termino.
Perdón, estaba mal hecha la cuenta:
f(1+h, 3+3h) = (1+h)(3+3h) = 3 + 3h + 3h + 3h^2 = 3 + 6h + 3h^2
Como dice la palabra "aumentamos" espero que se refiera a que h es positivo, entonces el valor de la función ha aumentado.
Y si la interpretación fuera que se aumenta la misma proporción en x que en y seria
f(1+h, 3+h)=(1+h)(3+h) = 3 + h + 3h + h^2 = 3 + 4h + h^2
Y sucede lo mismo, si aumentamos el valor de las variables aumentamos el valor de la función.
Otra forma de hacerlo es calcular la derivada direccional en el punto (1,3) en la dirección del vector (1,3) o (1,1).
grad f(x,y) = yi+xj
grad f(1,3) = 3i + j
fu' = (3i+j)·u = 3u1 + u2
f' en la dirección (1,3) = 3·1+3 = 6
f' en la dirección (1,1) = 3·1+1 = 4
Sea cual sea el caso, la derivada direccional es positiva y la función crece.
Creo que eso es lo que piden, es un ejercicio muy sencillo salvo porque me resulta ambigua la expresión.
Eso es lo que me pasaba, que no sabía a que se refería exactamente el ejercicio. Le agradezco mucho no solamente que me haya ayudado (teniendo en cuenta lo tarde que es, es de agradecer que se encuentre conectado a estas horas al foro),sino que además, le estoy agradecida por facilitarme varias formas de resolver el problema. No solamente, me ha ayudado con la solución, ya que además he aprendido mucho gracias a su explicación.
Muchísimas gracias por todo!
Un cordial saludo
