Demuestre que cualquier espacio métrico

Todo conjunto finito X es compacto, ya que de cualquier cubrimiento de X podemos tomar un subcubrimiento con a lo más tantos elementos como elementos tenga X.

Y en un espacio métrico todo conjunto compacto es cerrado y acotado, luego X es acotado.

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Si no se puede aplicar esto que he dicho se puede demostrar de otra forma. La unión finita de cerrados es un cerrado, y como un punto es un cerrado la unión finita de puntos es un cerrado.

La demostración de que un punto x es un cerrado se hace demostrando que el espacio métrico menos ese punto es un cerrado.

Sea S el espacio métrico

Sea y € S-x, la distancia d(x, y) = r>0 por las propiedades de la métrica donde solo hay distancia 0 entre un punto y sí mismo.

Luego la bola abierta de centro y y radio r, B(y, r) no contiene a x. Y eso sucede para todo y € S-x, luego todos los puntos de S-x son interiores y por lo tanto S-x es abierto y su complementario que es el punto x será un cerrado. Y como decíamos al principio, la unión finita de cerrados es un cerrado luego un conjunto finito en un espacio métrico es un cerrado.

Y eso es todo.