¿Has estudiado ácidos y bases conjugadas? ¿Has estudiado hidrólisis?
Te presento la explicación más simple posible:
Las reacciones "ácido + base = sal + agua" son reversibles. Si pones en agua una sal, esta forma un poco de ácido y un poco de base.
El jabón simple es una sal. El ácido es un ácido orgánico débil y la base es una base fuerte (NaOH). Si pones jabón en agua, éste se hidroliza formando un poco de ácido debil y un poco de base fuerte por lo que el resultado será alcalino.
Otros ejemplos: Una solución de carbonato de sodio es alcalina (sin embargo el Na2CO3 no tiene ni protones ni oxhidrilos, ¿no?). Pero cuando se disuelve en agua forma ácido carbónico (muy débil) e hidróxido de sodio (fuerte). La solución de cloruro de sodio tiene reacción neutra porque el HCl es un ácido fuerte y el NaOH es una base fuerte.
NOTA: hay mucho mejores (y también conceptualmente más complejas) explicaciones que ésta. La mejor es el concepto de ácidos y bases conjugadas. Ya la conocerás si avanzas en el estudio de la química.