Mayor rectángulo en un triangulo de lado A
Tengo un problema de calculo para encontrar las dimensiones del mayor rectángulo que se puede inscribir en un triangulo equilátero de lado A
Respuesta de Pere Agusti Hontangas
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Tienes que hacerte un dibujo con el triangulo y el rectángulo dentro de el.
Entonces tienes que ver las siguientes relaciones:
S(area del rectangulo)= x . y (base por altura)
Salen eln el dibujo dos triangulitos rectángulos a cada lado del rectángulo, cuyos catetos son: y, (A-x)/2, la hipotenusa será A-x.
Según el teorema de pitágoras, h^2= c1^2 + c2^2, entonces
(A-x)^2= y^2 + (A-x)^2/4, luego
3/4 . (A-x)^2 = y^2, luego
y= raíz(3)/2 . (A-x)
Este valor de "y" lo substituyes en la fórmula del área del rectángulo, y luego haces la derivada, la cual igualas a cero:
S=raiz(3)/2 . x . (A-x)
S'= raíz(3)/2 . [-x + (A-x)]=
= raíz(3)/2 . (A-2x)= 0
luego A- 2x=0, por lo que x= A/2
Y= raíz(3)/4 . A
Con estas medidas el área del rectángulo sera máxima.
NOTA: Si hubieras considerado el resultado negativo de la raíz, el área sería mínima, y por eso no lo hemos considerado.
Entonces tienes que ver las siguientes relaciones:
S(area del rectangulo)= x . y (base por altura)
Salen eln el dibujo dos triangulitos rectángulos a cada lado del rectángulo, cuyos catetos son: y, (A-x)/2, la hipotenusa será A-x.
Según el teorema de pitágoras, h^2= c1^2 + c2^2, entonces
(A-x)^2= y^2 + (A-x)^2/4, luego
3/4 . (A-x)^2 = y^2, luego
y= raíz(3)/2 . (A-x)
Este valor de "y" lo substituyes en la fórmula del área del rectángulo, y luego haces la derivada, la cual igualas a cero:
S=raiz(3)/2 . x . (A-x)
S'= raíz(3)/2 . [-x + (A-x)]=
= raíz(3)/2 . (A-2x)= 0
luego A- 2x=0, por lo que x= A/2
Y= raíz(3)/4 . A
Con estas medidas el área del rectángulo sera máxima.
NOTA: Si hubieras considerado el resultado negativo de la raíz, el área sería mínima, y por eso no lo hemos considerado.
