Conejo enano con ojos llorosos

Tengo un conejo enano que tiene 6 años. Está bien de salud en general, el único problema es que desde hace ya tiempo creo que le lloran los ojos. Digo "creo" porque realmente no se le ven los ojos llorosos, sino que tiene todo el pelo de debajo de los ojos como si estuviera mojado, aunque si lo tocas está seco; pero supongo que en algún momento le deben llorar para tener este aspecto mojado. Pero tiene los ojos bien, ni cerrados, ni irritados ni nada. Ya lleva mucho tiempo así y no se le acaba de ver bien el pelo de debajo de los ojos. Y él se limpia, porque es blanco y está impecable, no lo lavamos nunca. El conejo vive suelto en el jardín, se construyó una madriguera, y pensé que lo de los ojos se debía a que le entraba arenilla al cavar el agujero. Pero ya hace tanto tiempo que me está empezando a preocupar.
No lo he llevado al veterinario porque no le gusta nada que lo cojan ni lo levanten del suelo, nunca lo hemos sacado del jardín y no me gustaría que pasara un mal rato el pobre animal. Y además se le ve bien, come y bebe con normalidad. ¿Quizás es que es muy mayor?
Me gustaría tu opinión antes de llevarlo al veterinario, ya que se estresaría muchísimo y no se si sería peor el remedio que la enfermedad.