Veo que no has extraído el núcleo de los piñones y que éste parece tener todas las bolas del rodamiento, aunque no se ven todas. En cambio en el rodamiento del lado opuesto del buje que se ve en la foto de la izquierda parece que falta al menos una bola. Esto podría ser suficiente para que la transmisión presente los problemas que cuentas. Pero al faltar la bola completa y no estar el resto de bolas muy gastadas, es posible que se haya caído al desmontar. En general se ve todo sucio, al menos con la lubricación contaminada de polvo o degradada. No aprecio bien el desgaste de las estrías del núcleo y el interior del casete, como para saber si éste último pudiera girar loco o independiente. Tampoco aprecio mucho desgaste en los dientes de los piñones como para que la cadena salte con frecuencia. Aunque en general el material es de mala calidad y está mal conservado.
Comprueba que están todas las bolas en sus huecos esféricos en ambos rodamientos. Si falta alguna o está deformada cómprala y asegúrate que quedan ubicadas cada una en su esfera y que todo el rodamiento queda lubricado, al igual que el núcleo si tienes que desmontarlo, éste con aceite denso.
Si aún fallase la transmisión y no has desmontado y comprobado el núcleo como te digo arriba, hazlo. Y si tu economía te los permite cambia el casete y la cadena y pide que te revisen núcleo y rodamientos en un taller, no creo que con ese material te cueste más allá de 50 euros, aunque a lo mejor es lo que vale la bici entera...
Mucha suerte y animo.