¿Contempla el estatuto de los trabajadores algún tipo de permiso para padres/madres de hijos menores para enfermedad común?

Siento decirte que no, el Estatuto dice lo siguiente:
Artículo 37. Descanso semanal, fiestas y permisos
3. El trabajador, previo aviso y justificación, podrá ausentarse del trabajo, con derecho a
Remuneración, por alguno de los motivos y por el tiempo siguiente:
b) Dos días por el nacimiento de hijo y por el fallecimiento, accidente o enfermedad graves, hospitalización o intervención quirúrgica sin hospitalización que precise reposo domiciliario, de parientes hasta el segundo grado de consanguinidad o afinidad. Cuando con tal motivo el trabajador necesite hacer un desplazamiento al efecto, el plazo será de cuatro días.
Solo te cabe la posibilidad te coger días de tus vacaciones, si aun te quedan por disfrutar, o si tu convenio recoge días de asuntos propios, otra posibilidad, y esto se debería haber contemplado por tus representantes en la empresa (comité o delegado de personal) es que al comienzo de cada año, y sabiendo por el convenio las horas de trabajo para ese año, se hace el computo de horas efectivas de trabajo que se va a realizar al cabo del año, normalmente suele haber un excedente de horas, que se deben compensar al trabajador/a con días de descanso.
No olvides finalizar la pregunta si no deseas alguna aclaración.