Petición DNI

Quería saber quien está facultado en España para comprobar un DNI.
Lo pregunto por lo siguiente. El año pasado, mi hermana fue a una clínica privada para recibir un tratamiento. Cubrió un impreso con sus datos y no tuvo ningún problema.
Como ella quedó contenta, hace 1 mes he ido yo a la misma clínica, para que me atiendan de algo parecido. Mi sorpresa fue que, tras cubrir el impreso con los datos personales, etc, me dijeron que tenía que aportar mi dni. Al principio me dijeron que debía dejárselo y que al día siguiente me lo devolverían. Como a mí me sonó raro, les contesté que sacaran una fotocopia pero que el original no se lo dejaba. Tuve que luchar con las chicas del mostrador para que, esto que creo que es de lógica aplastante, pudiera hacerse así. Al final le hicieron una fotocopia.
De todas maneras, al día siguiente, después de pensar y repensar en porque tanta tontería con mi DNI, les conté que mi hermana había acudido antes y no le habían pedido nada. Entonces me contestaron y he aquí el porqué de la pregunta del principio, que a veces les gustaba "comprobar" las identidades. Yo me quedé muy sorprendida, porque lees iba a pagar con tarjeta de crédito que claramente pondría mi nombre y apellidos, los mismos del formulario, los mismos del dichoso DNI..., y bueno, les contesté a bote pronto que a mi me parecía que sólo la Policía, Guardia Civil, etc estaban legalmente facultados para comprobar DNI's y que no creo que una clínica pueda hacerlo por sí misma y ni siquiera solicitárselo a la Policía o a quien sea...
En fin, me vieron tan enfadada que me pidieron disculpas, pero sigo mosqueada, y me gustaría saber que contempla la ley y si es seguro dejar fotocopia de tu DNI en una clínica privada a la que vas tan solo para recibir un tratamiento.