Duda sobre escritura pública e inscripción de arrendamiento de local en copropiedad

Hola, 3 personas compran dos inmuebles (uno de ellos es el piso situado en la primera planta, y el segundo es un local comercial, ubicado justo debajo del piso) en común, a partes iguales. Tales adquisiciones se inscriben en el Registro de la Propiedad. Posteriormente, deciden alquilar el local. Con esto en mente, mis dudas son: ¿sería preciso que el contrato de arrendamiento se formalizara en escritura pública? ¿Es necesario que se inscriba en el Registro de la Propiedad?Gracias.