Respuesta
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Es en el mismo 1821, tras la consumación de la independencia, para confirmar tal, el nombre es modificado en todos los documentos oficiales del gobierno mexicano, más no en el español que a la fecha en diarios, noticiarios y libros sigue escribiendo a nuestro país con "j", y si lo siguen haciendo es por meras exigencias gramaticales y/o de la Real Academia de la Lengua que no sanciona la escritura de México con "x".