¿Puedo Facturar sin IAE?

No

Efectivamente hacienda permite que extraordinaria y muy aleatoriamente puedas emitir una factura con iva, sin haber dado de alta en el iae. Como ejemplo, bien puede valerte el del particular que vende un pinar (los árboles, no el terreno) o aquel otro que vende un local de negocio y que no se dedica a la actividad. Pero lo que me planteas, me parece que no es tan esporádico ni extraordinario, por lo que te aconsejo que te des de alta en el iae (que a partir de este año es gratuito), pero tendrás que cotizar en autónomos, con el coste que ello supone, además de la repercusión que puede tener en el irpf tuyo. Para que no te grave demasiado, puedes concentrar tu actividad en un trimestre o en un semestre al año, con lo que te ahorrarás bastante dinero. A las facturas emitidas, no tienes más que dar la fecha de ese periodo y con eso lo tienes arreglado.
De todas formas, en konsertel.com, te pondrán al corriente sobre todas estas tramitaciones, por poquísimo dinero.

De acuerdo con la legislación tributaria actual, si usted realiza una actividad económica con autonomía, al margen de su dedicación laboral, debe darse de alta en el IAE y cumplir los demás requisitos fiscales y de seguridad social correspondientes al régimen de autónomos. Todo ello independientemente de su volumen de facturación.

No me indicas la actividad que desarrollas pero, siguiendo un planteamiento general, la respuesta es no.
Es decir, si no eres empresario por cuenta propia y no estás dado de alta en la Delegación de Hacienda correspondiente, tanto a efectos de IVA como de IRPF, dependiendo de la actividad, no puedes emitir facturas legalmente de esos quehaceres particulares. Y no hay un límite para el cual tengamos cobertura y que pueda amparar, esos trabajos privados.-
Para cualquier duda al respecto, no dudes en consultarme.-