No visualizar variables

Si, si puedes. Pero para ello hay un par de requisitos.
Los formularios (y sus datos) pueden enviarse por dos "caminos".
El primero de ellos, que es el más usual (y que, al parecer es el que tú estás usando) es el método GET. En este método, los datos se envía en la URI de la solicitud (en la dirección web, para entendernos).
El segundo método es el POST, en el que los datos se envían a la entrada estándar del programa CGI. Es con este método con el que no se verán los datos en la URI.
Pero, para usar este, el CGI debe estar preparado para coger los datos de la entrada estándar. Si no lo está, no podrás enviárselos por este método.
Además, en tu formulario debes indicarle el método que vas a usar por medio de atributo "method", de este modo:
<form action="direccion/del/cgi" method="post">
Quizás en "method" ahora te aparezca "get". En cualquier caso, esta es la opción por defecto.