Para realizar esta acción usaría ajax, específicamente con jquery y su método load.
Para comenzar haz tu archivo base e incluye la librería jquery.
Para el ejemplo he dejado un div llamado cuerpo y otro llamado header que está vacío para que reciba el contenido que deseas replicar.
La función load de jquery esta contenida en el método ready de la misma librería. Este método lo que hace es esperar a que se cargue toda la estructura del sitio antes de hacer ejecución de su cuerpo.
Index.html
<html>
<head>
<title>Include html</title>
<script src='jquery.js'></script>
<script type='text/javascript'>
$(document).ready(function(){
$("#header").load("cabecera.html");
});
</script>
</head>
<body>
<div id='header'></div>
<div id='cuerpo'>
Este es el cuerpo
</div>
</body>
</html>
He creado el archivo cabecera.html el cual no tiene mayor ciencia que el código que deseas incluir
<div id='cabecera'>
<b>Esta es la cabecera</div>
</div>
Al ejecutar tendría que funcionar todo al instante.
Recuerda que el archivo index.html está preparado para que jquery.js y cabecera.html estén en el mismo directorio (al mismo nivel)