El ordenador se apaga solo

Ese problema suele deberse a la fuente de alimentación. Cuando acumulan polvo no pueden expulsar bien el aire al exterior y se calientan. Cuando una fuente de alimentación se calienta se desconecta sola para evitar daños mayores. Por esa razón tienes que esperar un rato, a que se enfríe y vuelva a funcionar. Si se te vuelve a apagar está claro que está fallando y necesitarás cambiarla por una nueva.

Por lo que me dices, la causa de tu problema esta desde luego en el hardware. Lo más probable es que tengas un sobrecalentamiento en el micro (el ventilador puede estar en mal estado), por eso al poco rato de encender el equipo la bios detecta el exceso de temperatura y suspende el equipo, o simplemente el sobrecalentamiento genera un error en el micro y este apaga el pc. También se ha dado algún caso en el que por una fisura en una pista de la placa base, la cual al calentarse se dilata, se resetee el pc o se apague. La otra posibilidad es que la fuente este rota, lo que es frecuente en tu tipo de fuentes ya que este tipo de fuentes no se apagan totalmente nunca a no ser que accionemos el interruptor trasero, y al estar siempre encendidas(standby) se deterioran con rapidez.
Sea cual sea tu problema lo que parece estar claro es que esta íntimamente ligado al incremento de la temperatura como origen del apagado espontaneo, más aun si me dices que tras dejarlo enfriar un poco, este vuelve a iniciarse. Te recomiendo que abras el pc y lo arranques normalmente, y observes si el venilador del micro funciona correctamente, así como el de la fuente, también puedes tocar con mucho cuidado los diversos chips de la placa en busca de alguno que muestre una temperatura muy elevada(tanto que casi queme), esto te puede encaminar al origen del fallo. Prueba también si algún amigo te presta su fuente a intercambiarla para descartar la misma como origen del fallo.
Sin testear tu pc físicamente no te puedo decir más.
Suerte y ya me contaras si encontraste el fallo.

Probablemente esta desactivado la administración de energía en el bios o el protector de pantalla tiene un error o la fuente de poder tiene el ventilador muy dañado o el procesador se esta calentando.
Seria bueno que revisaras estos datos y si compruebas que todo esta bien mandame el dato de que windows estas usando y si la moter es AT o ATX así como los datos generales de la maquina si es marca o ensablada, etc.

Lo que le pasa a tu monitor puede ser varias cosas.
Yo estoy casi seguro a que la que falla es la mothr board tal vez por una descarga se daño alguna parte.
Por otro lado como me describes que se apaga pasodo cierto lapso, esto debe de ser por un calantamiento execesivo (Puede ser del procesador) Si en algún momento moviste e cpu o lo ajitaste fíjate que el ventilador del procesador funcione adecuadamente, ya que algo podría estar obstruyendo su libre funcionamiento.
La memoria podría ser tambienya que por una sobre carga( Sobre odo si no tienes regulador de corriente) Pudo dañarse y solo funciona hasta que se sobrecarga.
Algunas de estas opciones son los más seguros fallos en tu computadora.