Applets y jdbc

No explicas lo que haces cuando lo empaquetas. Deduzco que lo que has hecho en empaquetar el postgres.jar dentro del jar de la aplicación directamente. Esto en principio no debería ser correcto, ya ese jar, debe estar en el classpath. En caso contrario, no se encontraran las clases necesarias para el mismo, ni el propio driver.
Una posibilidad podría ser desempaquetar el jar del driver, e incluir con la aplicación los directorios empaquetados directamente. De este modo serán accesibles desde el propio jar de la aplicación. Puede ser que de este modo solucionaras el problema