Error '3705' en tiempo de ejecución : la operación no

Ufff, me haz echo desempolvar mi cerebro, cuando hace que no veía VB 6.
Lo que te pasa es que ya tienes una conexión abierta, el cerrar la aplicación no te asegura cerrar las conexiones a la BD.
Lo más salomónico sería abrir solo cuando vas a usar la BD y mantenerla cerrada, algo como esto:
AbrirBD()
With rstRegistro 
If .State = 1 Then .Close 
.Open "select * from mitalbla", Base, adOpenStatic, adLockOptimistic 
End With
CerrarBD()
¿Soy Claro?.
Siempre antes de usar tu RecordSet y acceder a la BD abres la conexión, la usas en lo que tengas que usarla y cierras nuevamente.
Tampoco está demás que controles los eventos de salida y cierre de los Forms y asegurarte que la base esté cerrada.
Solucionas eso y ya no te dará error.

Estimado. Disculpá pero vuelvo sobre el tema ya que no me ha quedado claro el código.
¿En el procedimiento AbrirBD puede que esté el código para abrir el recordset en vez de la base de datos?
Hoy la verdad que no entendí muy bien el código. Cuando me dices que "ya tienes una conexión abierta, el cerrar la aplicación no te asegura cerrar las conexiones a la BD. " ¿Cómo es eso de que ya tengo la conexión abierta?
¿Podrá ser posible una explicación un poco más extensa?
Muchas gracias!

Lo que yo te puse de AbrirBD() y CerrarBD() sería el llamado a una subrutina de abrir y cerrar la base de datos y como es algo que lo llamarás una y otra vez, es bueno no repetir el código si no llamarlo cuando es necesario.
Digamos que AbrirBD es así:
Código:
Public Sub AbrirBD ()
     With Base 
            .CursorLocation = adUseClient 
            .Open "Provider=SQLOLEDB.1;Integrated Security=SSPI;Persist Security                Info=False;Initial Catalog=Base;Data Source=casa-BEDFFC6F\SQLEXPRESS"'
End Sub
Esto lo que hace que tu base esté abierta, las variables que uso dentro de la Sub Rutina pueden ser Globales como lo haces en tu primer ejemplo, pero debes sacar ese código del módulo .vas, es decir, cuando arranca el programa tu no abres ninguna base de datos, estás desconectado. Solo abrirás la BD cuando la vayas a usar e inmediatamente después la cierras.
En la Sub Rutina CerrarBD() solo deberías usar la instancia Close de la variable Base.
Cuando la aplicación se cierra, la que estás realizando, esta no cierra la conexión a la base de datos de forma automática, debes cerrarla tu mediante código, si no la conexión a la base de datos queda abierta y pendiente, entonces tu al intentar abrirla nuevamente te salta el error que mencionas, debido a que tu ya tienes abierta una conexión a esa base y ahí está el problema.
Con todo el código anterior lo que pretendemos es estar cerrados siempre y cuando necesitamos abrimos, sacamos, asentamos, borramos o lo que tengamos que hacer y cerramos la conexión inmediatamente después de terminar.
Eso nos asegura que no gastamos recursos en vano, que dejamos libre al servidor para atender otras llamadas y todos trabajan más holgados, es por eso que en .NET la idea de ADO.NET es esa, trabajar desconectado. Es un poco eso lo que yo quiero trasmitirte a ti.
Recuerda, que si el Recordset está abierto o la BD está abierta, el intentar abrirla nuevamente da como resultado ERROR.
Como siempre te dejo algo de material para leer de algunas personas que han tenido tus problemas.
Link:
http://www.forosdelweb.com/f69/cerrar-conexiones-606841/
Si tienes dudas me lo haces saber.