Visual basic con mysql y con oracle

En principio para cualquier conexión con cualquier base de datos se utiliza siempre ODBC.
Cada base de datos suele traer su driver de ODBC, de forma que al instalarla puedes configurar en el panel de control todas las opciones.
Para conectar con MySQL necesitas el MyODBC, que podrás descargar de la propia página de MySQL. Para oracle más de lo mismo. Necesitarás bien instalar la base de datos o bien los drivers ODBC para poder tener acceso a las tablas.
Cuando tienes el ODBC poco cambia lo que uses... puede ser SQL Server, Access, MySQL... cualquiera. Simplemente abres una conexión, generas un RecordSet y lo demás es código Visual Basic para ejecutar las sentencias SQL.
Explicar como se conecta a base de datos puede ser algo complejo y extenso de explicar. Puedes trabajar contra una DSN de Sistema (definido en el panel de control de la máquina servidor) o bien usar una conexión directa, haciendo referencia directamente a la base de datos.
Normalmente esa ultima opción es en Access (que dispone de un fichero MDB), pero para otras bases de datos lo normal es una DSN.
Cuando instales el MyODBC podrás configurarlo. Una cadena de conexión podría ser:
myConn.open "Driver={mySQL};" & _
"Server=<tu servidor>;" & _
"Database=<tu base de datos>;" & _
"Uid=<id>;" & _
"Pwd=<pass>;"
Por supuesto falta el código de generación de objetos Connection, RecordSet etc. pero asumo que tu conocimiento en VB llega a eso.
Lo que comentas de usar MySQL en una red... supongo que no debería haber problema, pero nunca lo he probado. Siempre que tengas un servidor bien configurado y funcione bien, el resto solo son clientes que se conectan a él, por lo que no importa el sistema operativo realmente.