Optimización. Variables con restricción
Buenas... Me podría ayudar con este ejercicio de optimización:
f(x,y,z)= x^2 + 4y^2 +z^2 - 4xy -2xz - 6z
Sujeto a: x+y+z >= 15
Gracias!
1 Respuesta
Vamos a formar la función auxiliar
g(x,y,z,t) = x^2 + 4y^2 + 7z^2 - 4xy - 2xz - 6z + t(x+y+z-15)
Donde t es el multiplicador de Lagrange que en los libros llaman lambda normalmente.
Los puntos críticos se obtienen igualando a 0 las tres derivadas parciales y con la ecuación de ligadura.
gx = 2x - 4y - 2z + t = 0
gy = 8y - 4x + t = 0
gz = 14z - 2x - 6 + t = 0
UN momento. Aparte de ser complicado ahor ame doy cuenta que no has puesto la restricción
x+y+z = 5
sino
x+y+z >=0
Entonces no existe optimización ya que podemos hacer la función tan grande como queramos, por ejemplo a traves de los puntos
(0,0,z)
Tendremos
f(0,0, z) = z^2 - 6z que tiende a infinito
A no ser que la optimización consista en obtener el mínimo. En es caso a lo mejor se podría hacer algo.
Luego te pido que pongas todos los detalles del enunciado que necesite para saber lo que nos piden y asegúrate de si la restricción es una igualdad o desigualdad. Dime también la asignatura donde te ha salido este problema. Es muy distinto si es un problema de Analisis Matemático o de Investigación Operativa.
Pero lo más importante es definir cuál es la optimización, es maxímizar o minimizar la función y sobre todo lo de desigualdad o igualdad en las restricciones.
La asignatura es Matemáticas aplicadas a la economía. (Análisis matemático)
La restricción es una desigualdad (menor o igual a 15) y la optimización es una minimizar la función
MIN. f(x,y,z)= x^2 + 4y^2 +z^2 - 4xy -2xz - 6z
Sujeto a: x+y+z >= 15
perdón era "mayor o igual a 15" la restricción
Ya viste lo que te comente sobre tu forma de puntuar la pregunta anterior. NO me voy a romper los cuernos con esta pregunta tan difícil para obtener un ÚTIL. Tu dedides.
Disculpe soy nueva en esto, lo de la pregunta anterior es una respuesta excelente (ya le puntúe, mil gracias)
Saludos
El problema es que yo este ejercicio no lo he hecho nunca, los que yo he hecho eran sujetos a una igualdad, no a una desigualdad. Y entonces me falta la base teórica. Yo a lo único que había llegado es que las funciones lineales limitadas en un recinto delimitado por hiperplanos alcanzaban el máximo o mínimo en algún vértice o una arista. La función que me planteas no es lineal ya que tiene productos de las variables.
Mira, voy a a hacerlo como si fuese alcanzar el mínimo sobre el plano
x+y+z = 15
Que seguramente la solución será esa y si puedo verificarlo lo verifico.
Si pudieras pasarme la teoría no me vendría mal, aunque la verdad es que no tengo mucho tiempo para ampliar conocimientos.
Entonces continúo donde lo había dejado antes. Ha quedado un sistema de 4 incógnitas que tira para atrás pero hay que resolverlo
gx = 2x - 4y - 2z + t = 0
gy = 8y - 4x + t = 0
gz = 14z - 2x - 6 + t = 0
x+y+z = 15
Ordenándolas
x + y + z = 15
2x - 4y - 2z + t = 0
-4x + 8y + t = 0
-2x + 14z + t = 0
Vamos a ponerlo como una matriz y hacer operaciones de filas, yo haré algunas pero tu puedes preferir otras
1 1 1 0 | 15
2 -4 -2 1 | 0
-4 8 0 1 | 0
-2 0 14 1 | 0
1 1 1 0 | 15
2 -4 -2 1 | 0
0 0 -4 3 | 0
0 -4 12 2 | 0
1 1 1 0 | 15
0 -6 -4 1 | -30
0 0 -4 3 | 0
0 -2 6 1 | 0
1 1 1 0 | 15
0 0 -22 -2 | -30
0 0 -4 3 | 0
0 -2 6 1 | 0
Voy a dejarlo ya, es muy pesado reescribir las matrices
la tercera dice
-4z + 3t = 0 ==> t = (4/3)z
sustituyendo en la segunda
-22z - 2(4/3)z = -30
-22z - (8/3)z = -30
-(74/3)z = -30
z = 90/74 = 45/37
Ahora calculamos t
t=(4/3)z = (4/3)(45/37) = 180/ 111 = 60/37
Ahora vamos a la cuarta
-2y + 6(45/37) + 60/37 = 0
-2y + (270+60)/37 = 0
y = 165/37
Y por fin vamos a la primera
x + 165/37 + 45/37 = 15
x = 15 - 210/37 = 345/37
Luego el punto crítico es
(345/37, 165/37, 45/37)
Cuando se resuelve un problema con los multiplicadores de Lagrange no se sabe si es un máximo o mínimo, lo que se puede hacer es comprobar con es punto y otro.
f(x,y,z) = x^2 + 4y^2 +z^2 - 4xy - 2xz - 6z =
(345/37)^2 + 4(165/37)^2 + .... =
permíteme que lo calcule con ordenador
-38790/1639
Y lo comparamos con otro punto cualquiera del plano
f(15,0,0) = 225
Luego el punto crítico calculado, es un mínimo en el plano para la función.
Ahora bien, que lo sea para todos los puntos del semiespacio
x+y+z>=15
Es lo que yo no puedo asegurar, eso a lo mejor puedes hacerlo tu en base a la teoría que tienes o si me la comunicas.
Madre mía que desastre. La página se ha comido los saltos de línea que había entre matriz y matriz. Bueno supongo que ya sabes que cada 4 filas había un salto de línea. Comunicaré lo que ha pasado a los responsables.
